Uzantı kartı · Z-Sayı
Z-sayı TOPSIS (Gardashova, 2019)
Bu, TOPSIS'in her kriter değerinin hem kendisiyle hem bu değere ne kadar güvenilebileceğiyle birlikte verildiği durumlar için biçimidir. Çıktı yine bir yakınlık puanı ve bu puana göre bir sıradır.
Temel yöntem
TOPSIS →
Felsefe, işleyiş, güçlü ve zayıf yanlar temel yöntem kartında; bu kart yalnız farkı anlatır.
Veri türü (aile)
Z-Sayı (Z-Number) →
Bu veri türü nedir, ne zaman kullanılır, hücreye nasıl yazılır: ailenin ayrıntılı anlatımı burada.
Temel Yöntemden Ne Değişir?
Üç şey değişir; karar mantığı değişmez.
Hücreler. Kesin TOPSIS'te her hücre tek sayıdır. Burada her hücre bir Z-sayıdır: Z = (A, B). A, kriterin değerini gösteren bir üçgen bulanık sayıdır. B, bu değere ne kadar güvenilebileceğini gösteren ayrı bir üçgen bulanık sayıdır. Kriter ağırlıkları kesin sayı olarak kalır; yöntem ağırlık üretmez, dışarıdan alır.
Ölçek eşitleme. DecisionMind, Z-sayıyı normalizasyondan önce tek bir kesin sayıya indirir. Bu indirgeme Kang ve arkadaşlarının (2012) önerdiği yolu izler. A'nın üyelik eğrisi, B'nin ağırlık merkezinden gelen bir katsayıyla ölçeklenir. Sonra bu ölçeklenmiş eğrinin kendi ağırlık merkezi (centroid) alınır. Elde edilen kesin sayı üzerinde klasik TOPSIS'in vektör normalizasyonu uygulanır: her sütun, sütundaki değerlerin karelerinin toplamının köküne bölünür. Bu, bulanıklığı son adıma kadar taşıyan Fuzzy TOPSIS (Chen 2000) uzantısından temel bir farktır. Orada belirsizlik üçgen olarak kalır ve uzaklık hesabında tüketilir. Burada belirsizlik daha ilk adımda tek sayıya iner.
Bu indirgemenin doğrulanmış ve önemli bir sonucu vardır. Kang dönüşümünde B'nin katkısı, A'nın üyelik eğrisinin yalnız yüksekliğini ölçekler. Eğrinin yatay konumunu, yani ağırlık merkezini değiştirmez. Bu sabit çarpan, ağırlık merkezi oranının payında ve paydasında aynı anda göründüğü için sadeleşir. Sonuçta elde edilen kesin değer yalnız A'nın ağırlık merkezine eşittir ve B'nin sayısal değeri sonucu hiç etkilemez. Bunu DecisionMind'ın Z-TOPSIS motorunu çalıştırıp doğruladım: aşağıdaki öğretici örnekte B'yi (0,70; 0,80; 0,90)'dan (0,01; 0,02; 0,03)'e düşürdüğümde üç seçeneğin de yakınlık puanı birebir aynı kalıyor.
Uzaklık ve yakınlık puanı. Bu adımlarda hiçbir şey değişmez. Kesinleşmiş sayılar üzerinde klasik TOPSIS'in ideal seçeneği, anti-ideal seçeneği, Öklid uzaklığı ve yakınlık puanı aynen çalışır.
DecisionMind bu uzantıda Kang dönüşümünü ve ağırlık merkezi durulaştırmasını, ardından klasik TOPSIS'in vektör normalizasyonunu ve Öklid uzaklığını sabit tutar. Ağırlıklar dışarıdan ve kesin sayı olarak alınır.
Çıktı Nasıl Yorumlanır?
Çıktı kesin TOPSIS'teki gibi bir yakınlık puanı ve sıradır; okunması da aynıdır. Yüzde değildir, başka bir analizle karşılaştırılmaz, seçenek kümesi değişince ideal ve anti-ideal noktalar kayar.
Fark şurada. Z-sayı veri yapısının amacı, kaynağa duyulan güveni karara taşımaktır. Ama mevcut DecisionMind motorunda bu güven, durulaştırma adımında elenir ve sonuca yansımaz. Bu yüzden raporda "güvenilirlik hesaba katılmıştır" yazılmamalıdır.
Bu nedenle:
"Z-sayı kullanıldığı için kaynağın güvenilirliği sonuca yansımıştır"
yerine:
"Kriter değerleri Z-sayı olarak girilmiş, hesap değerin ağırlık merkezi üzerinden yürütülmüştür; güvenilirlik derecesi mevcut motorda durulaştırma sonrası sonuca yansımamaktadır"
biçiminde yazmak doğrudur.
Ne Zaman Temel Yöntem Yerine Bu?
Veriniz gerçekten Z-sayı yapısındaysa, yani her kriter değeri hem kendisiyle hem kaynağın güvenilirliğiyle birlikte kayıtlıysa, biçimsel olarak bu uzantı doğru seçimdir. Ama karar verici "güvenilirlik farkı sırayı etkileyecek" beklentisindeyse bu beklenti mevcut motorla karşılanmaz. Bu sınır, veri toplamadan önce söylenmelidir. Ölçülmüş bir değeri Z-sayıya çevirmek belirsizlik üretir; temel yöntemde kalınmalıdır.
Çıkış noktası kesin TOPSIS ile aynıdır: bir kriterde taviz kabul edilmiyorsa bu uzantı da telafi edicidir ve eşik altını elemez.
Bu Uzantıya Özgü Hatalar
Güvenilirliğin (B) sırayı değiştireceğini varsaymak. Mevcut motorda B, durulaştırma sonrası hesaptan tamamen düşer. Kaynakları farklı güvenilirlikte olan iki uzman aynı A değerini verirse, mevcut motor bu ikisini aynı sayar. Bu bir yazılım hatası değildir; Kang dönüşümünün matematiksel bir sonucudur ve raporda açıkça söylenmelidir.
Tüm hücrelere aynı B'yi yazıp Z-sayı kullanmak. B her yerde aynıysa zaten ayırt edici bilgi taşımaz. Mevcut motorda hiç taşımıyor olsa bile bu, veri toplama emeğini boşa çıkarır.
Ölçülmüş bir değere kuşkuyla düşük B yazmak. Gerçekleşmiş bir ölçüme "orta güvenilirlik" yazmak, ölçüme olmayan bir belirsizlik eklemektir.
Temel ilke şudur:
Z-sayı TOPSIS, kriter değerini ve bu değere duyulan güveni ayrı ayrı kaydetmek içindir. Ama mevcut motorda güven, durulaştırma sonrası sonuca katkı yapmaz; bu sınır, veri toplamadan önce karar vericiye söylenmelidir.
Vakalar
Birinci vaka DecisionMind'ın doğrulama örneğidir. Üç seçenekli, üç kriterli küçük bir tablo, sentetik olarak kurulmuştur ve el hesabıyla izlenebilir. İkinci vaka öğretici kurgudur.
1. Öğretici örnek: Üç seçenek, üç kriterde Z-sayı puanlama (DecisionMind doğrulama örneği)
Üç seçenek üç kriterde Z-sayı olarak puanlanmıştır. Her hücrede A (değer) üçgeni verilmiştir; güvenilirlik B üç kriterde ve üç seçenekte aynıdır: (0,70; 0,80; 0,90).
| Seçenek | C1 (A) | C2 (A) | C3 (maliyet, A) |
|---|---|---|---|
| A1 | 0,65; 0,70; 0,75 | 0,45; 0,50; 0,55 | 0,55; 0,60; 0,65 |
| A2 | 0,75; 0,80; 0,85 | 0,55; 0,60; 0,65 | 0,35; 0,40; 0,45 |
| A3 | 0,55; 0,60; 0,65 | 0,65; 0,70; 0,75 | 0,45; 0,50; 0,55 |
| Yön | çoğu iyi | çoğu iyi | azı iyi |
| Ağırlık | 0,40 | 0,35 | 0,25 |
Yöntem her hücrenin Z-sayısını önce Kang dönüşümüyle kesin bir sayıya indirir; bu sayı, A üçgeninin ağırlık merkezidir. Sonra klasik TOPSIS'in vektör normalizasyonunu, ağırlıklamayı, ideal ve anti-ideal seçeneği ve Öklid uzaklığını uygular.
| Seçenek | Yakınlık puanı | Sıra |
|---|---|---|
| A2 | 0,736 | 1 |
| A3 | 0,504 | 2 |
| A1 | 0,259 | 3 |
Sonuç şöyle okunur. A2, en ağırlıklı kriter olan C1'de en yüksek değere ve C3'te (maliyet) en düşük değere sahiptir; yalnız C2'de A3'ün gerisindedir. Bu iki üstünlük A2'yi açık farkla birinci yapar.
Kararın tereddüdü şudur. Ağırlıklar C1=0,20, C2=0,55, C3=0,25 olarak değiştirilirse sıra değişir: A3 0,715 ile birinci, A2 0,616 ile ikinci, A1 0,120 ile üçüncü olur. A2 ile A3 arasındaki sıra, C1 ile C2'nin göreli ağırlığına bağlıdır.
Güvenilirlik B'nin bu sıraya hiçbir etkisi yoktur. B, örneğin (0,01; 0,02; 0,03)'e düşürülse bile hem orijinal hem alternatif ağırlıklarda yakınlık puanları birebir aynı çıkar. Bu, kernel çalıştırılarak doğrulanmıştır.
Raporda: "Kriter değerleri Z-sayı olarak girilmiş, hesap A'nın ağırlık merkezi üzerinden yürütülmüştür. A2 0,736 ile ideale en yakın seçenektir; C1 ağırlığı C2'nin altına düşürülürse A3 öne geçer. Güvenilirlik derecesi mevcut motorda durulaştırma sonrası sonuca yansımamaktadır."
Kaynak: DecisionMind'ın Z-TOPSIS doğrulama örneği; sentetik 3x3 sabit veri (fixture), Zadeh (2011) ve Kang ve ark. (2012)'nin Z-sayı çerçevesine göre kurulmuştur. Yakınlık puanları ve duyarlılık senaryosu bu kartın yazarınca aynı algoritmayla bağımsız olarak yeniden hesaplanmış ve manifestteki beklenen değerlerle (tolerans 1e-9) birebir örtüşmüştür.
2. Tiyatro: Bir topluluğun yeni sezon repertuvarı için üç oyun önerisi arasında seçimi
Bir tiyatro topluluğu, yeni sezon için üç oyun önerisinden birini sahneleyecektir. Kriterler: beklenen izleyici ilgisi, sahneleme maliyeti ve oyuncu kadrosunun uygunluğudur. Maliyet dışındakiler "çoğu iyi", maliyet "azı iyi"dir. İzleyici ilgisi bir tahmine dayandığı için Z-sayı olarak girilir. A, dramaturginin verdiği tahmindir; B, bu tahminin geçmiş sezon biletleme verisine mi yoksa yalnız dramaturginin kişisel izlenimine mi dayandığıdır.
Yöntem üç önerinin Z-sayılarını Kang dönüşümüyle kesin sayıya indirir, klasik TOPSIS'i uygular. Diyelim ki sonuç, izleyici ilgisi tahmini en yüksek ama bu tahmin yalnız dramaturginin kişisel izlenimine dayanan öneriyi birinci sıraya koydu; geçmiş biletleme verisine dayanan, biraz daha düşük tahminli öneri ikinci sırada kaldı.
Topluluğun tereddüdü şudur. Birinci sıradaki tahminin güvenilirliği düşükse, mevcut motorun bu farkı sıraya hiç yansıtmadığı bilinmelidir. Topluluk, iki öneriyi güvenilirlik notuyla birlikte yönetim kuruluna sunmalıdır.
Raporda: "İzleyici ilgisi tahminine göre birinci öneri öndedir; ancak bu tahmin düşük güvenilirlikli bir kaynağa dayanmaktadır ve mevcut hesap bu farkı sıraya yansıtmamaktadır. İkinci öneri, geçmiş biletleme verisine dayandığı için ayrıca değerlendirilmelidir."
3. Yapılmaması Gereken
Öğretici örnekte A2'nin C1 kriterindeki güvenilirliğini (0,70; 0,80; 0,90) yerine (0,10; 0,20; 0,30) yazıp "artık A2'nin puanı düşer" beklemek: puan hiç değişmez, çünkü mevcut motor B'yi okumaz. İkinci yanlış, üç seçeneğin hepsine aynı B'yi yazıp "Z-sayı kullandık" demektir; B ayırt edici olmadığı sürece Z-sayı veri türünün açıklanan katkısı yoktur. Üçüncü yanlış, ölçülmüş bir maliyet değerine "orta güvenilirlik" yazmaktır; ölçülmüş değer için güvenilirlik kesindir ve Z-sayı yapısı gereksizdir.
Kaynaklar
Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri için DecisionMind yöntem sayfası: decisionmind.app/library/z-topsis
Gardashova, L. A. (2019). Z-Number Based TOPSIS Method in Multi-Criteria Decision Making. Advances in Intelligent Systems and Computing, 896, 42–50. DOI: 10.1007/978-3-030-04164-9_10
Zadeh, L. A. (2011). A note on Z-numbers. Information Sciences, 181(14), 2923–2932. DOI: 10.1016/j.ins.2011.02.022
Kang, B., Wei, D., Li, Y., & Deng, Y. (2012). A method of converting Z-number to classical fuzzy number. Journal of Information & Computational Science, 9(3), 703–709. (DOI yok)
Hwang, C. L., & Yoon, K. (1981). Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications: A State-of-the-Art Survey. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 186. Springer-Verlag. DOI: 10.1007/978-3-642-48318-9
Aliev, R. A., Huseynov, O. H., & Zeinalova, L. M. (2016). The arithmetic of continuous Z-numbers. Information Sciences, 373, 441–460. DOI: 10.1016/j.ins.2016.08.078