Alan Ortay Hattı Durulaştırması (Bisector Method)

Durulaştırma, bulanık bir sonucu rapor edilebilecek tek bir kesin sayıya indiren son adımdır. Bulanık SAW gibi bir yöntem her seçenek için üç köşeli bir bulanık puan üretir; bu puanı sıralamaya sokabilmek için önce tek sayıya indirmek gerekir. Bisector bu indirgemeyi "alanı adil bölme" fikriyle yapar: bulanık sayının kapladığı alanın yarısı solunda, yarısı sağında kalan noktayı bulur. Çıktısı tek bir kesin puandır; ağırlık üretmez, sıralama yapmaz, yalnız bir bulanık sayıyı bir sayıya çevirir. Bisector, klasik durulaştırma yöntemleri arasında ağırlık merkezi (centroid) ve tepe noktası (MOM) ile birlikte en çok anılan üç yöntemden biridir; kökeni bulanık kontrol sistemlerine dayanır ve bulanık çok kriterli karar yöntemlerinin son adımında da kullanılır.

Bisector'ın arkasındaki fikir bir tür alan medyanıdır. Bir bulanık sayıyı, altında kalan alanı temsil eden bir kütle gibi düşünürsek, bisector bu kütleyi tam ortadan ikiye bölen noktayı arar. Bu, ağırlık merkezini bulan centroid'den farklıdır; centroid alanın ortalamasını alır, bisector ise alanın yarısını bir tarafta, yarısını öbür tarafta bırakan sınırı bulur. Bulanık sayı simetrikse iki yaklaşım aynı noktada buluşur. Sayı bir yöne çarpıksa, yani bir kuyruğu öbüründen uzunsa, iki yöntem ayrışır ve hangisinin seçildiği sonucu değiştirebilir.

Bu felsefenin bir sonucu vardır. Bisector, dengesiz bir üçgende alanın büyük kısmının bulunduğu tarafa merkezden daha az kayar; çünkü onu ilgilendiren tek şey alanın iki yakaya eşit dağılıp dağılmadığıdır, alanın nerede yoğunlaştığı değildir. Bir uygulamada "olası değerlerin adil bir ortası" isteniyorsa bisector uygun bir seçimdir; "en olası değerin kendisi" ya da "tüm olasılıkların ortalaması" isteniyorsa yöntemin felsefesi farklı bir soruya cevap verir.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, toplam alanı bulmak. Üçgen bulanık bir sayı için bu alan, üçgenin taban uzunluğuyla ilişkilidir; yamuk bir bulanık sayıda alan iki üçgen ile bir dikdörtgenin toplamından oluşur. Bu toplam alan, aranacak "yarı yarıya" bölünmenin referans büyüklüğüdür.

İkinci adım, alanı ikiye bölen noktayı aramak. Yöntem, solundaki alan toplam alanın yarısına eşit olan x noktasını arar. Bu arayışta önce üçgenin sol yarısının (taban ile tepe noktası arasının) alanı hesaplanır ve toplamın yarısıyla karşılaştırılır. Sol yarının alanı bu yarıdan küçükse aranan nokta tepe noktasının sağındadır; büyükse solundadır.

Üçüncü adım, kapalı formülü uygulamak. Bulanık sayı simetrikse bisector doğrudan tepe noktasına eşittir ve ayrıca ağırlık merkeziyle de çakışır. Simetrik değilse bisector, hangi yarıda olduğu ikinci adımda belirlenen noktadan hesaplanır ve genel olarak ağırlık merkezinden farklı bir değer çıkar.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Bisector'ın verdiği sayı, bulanık sayının altındaki alanı eşit ikiye bölen noktadır. Bu sayı, bulanık sayının "en olası değeri" değildir; en olası değer üçgenin tepe noktasıdır ve bisector ondan farklı olabilir. Bu sayı aynı zamanda "tüm değerlerin ortalaması" da değildir; o da ayrı bir yöntem olan centroid'in işidir. Bulanık sayı simetrikse üç sayı (tepe noktası, ağırlık merkezi, bisector) çakışır ve hangi yöntemin seçildiği fark etmez. Sayı bir yöne çarpıksa üçü ayrışır ve seçilen yöntem, aynı bulanık veriden farklı bir kesin puan, dolayısıyla bazen farklı bir sıralama üretebilir.

Bu nedenle:

"Durulaştırılmış puan, bulanık sayının en olası değeridir"

yerine:

"Durulaştırılmış puan, bulanık sayının altındaki alanı eşit ikiye bölen noktadır; sayı simetrikse en olası değerle ve ortalamayla çakışır, simetrik değilse ikisinden de ayrışabilir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Bisector bulanık veriyle çalışır: üçgen ya da yamuk bulanık sayı. DecisionMind'da bu yapı taşının bağımsız bir uzantısı yoktur; bisector tek başına bir aile değil, başka bulanık yöntemlerin (fuzzy SAW, fuzzy TOPSIS, fuzzy VIKOR gibi) son adımında kullanılan bir bileşendir. Elinizde geçerli bir üçgen bulanık sayı (üç köşe, küçükten büyüğe sıralı) ya da yamuk bulanık sayı (dört köşe, küçükten büyüğe sıralı) olmalıdır. Genellikle bu sayı, bir host yöntemin ağırlıklı toplama ya da uzaklık adımından çıkan toplu bulanık puandır; bisector bu puanı durultup sıralamaya hazır hale getirir. Seçenek ya da kriter sayısında bir sınır yoktur; yöntem her seçeneğin kendi bulanık puanına ayrı ayrı uygulanır.

Aggregated bulanık puan belirgin biçimde çarpıksa (bir kuyruğu öbüründen uzunsa) ve "alanın adil ortası" mantığı raporun ihtiyacına uyuyorsa bisector uygun bir seçimdir. Bulanık sayı simetrikse bisector, centroid ile aynı sonucu verir; bu durumda daha yaygın bilinen ve daha az hesap gerektiren centroid tercih edilebilir, bisector seçmenin ek bir kazancı olmaz. Uygulamanın ihtiyacı "en olası/tipik değer" ise, yani belirsizliğin merkezî eğilimi değil zirvesi önemliyse, MOM (tepe noktası ortalaması) daha doğru sorunun cevabıdır.

Çarpık bulanık sayı, alan adaleti öncelikli → Bisector

Simetrik bulanık sayı → Bisector ile Centroid aynı sonucu verir; Centroid yeterli

"En olası/tipik değer" gerekiyor → MOM

Aynı sonucun aralık genişliği de raporlanmalı → Tip-2 bulanık sayılarda Tip İndirgeme

Bulanık değil sezgisel (üyelik/üye-olmama çifti) veri → Skor Fonksiyonu

Bisector'ın en açık üstünlüğü, alanı "adil" biçimde bölme garantisidir: solundaki ve sağındaki alan her zaman birbirine eşittir, bu özellik tanım gereği sağlanır. Çarpık bulanık sayılarda tek başına tepe noktasına (MOM) bakmaktan daha fazla bilgi taşır, çünkü kuyrukların büyüklüğünü de hesaba katar. Kavramı öğrenciye anlatmak görece kolaydır: "alanı eşit ikiye bölen çizgi" sezgisel bir tanımdır ve grafik üzerinde gösterilebilir.

Bisector'ın sınırlılıkları da tanımından gelir. Runkler (1997), farklı durulaştırma yöntemlerinin hangi uygulama özelliklerine uygun düştüğünü karşılaştırırken bisector'ın hesap yükünün centroid'e göre biraz daha fazla olduğunu, çünkü önce hangi yarıda olduğunun bulunması gerektiğini göstermiştir. Talon ve Curt (2017), gerçek bir mühendislik uygulamasında (baraj performansı değerlendirmesi) farklı durulaştırma yöntemlerinin aynı bulanık girdiden gözle görülür farklı puanlar ürettiğini ve seçimin gerekçelendirilmesi gerektiğini göstermiştir. Bisector'ın kendisi de simetrik olmayan sayılarda "hangi yarıda" sorusuna bağımlı bir kapalı formül kullanır; bu formül trapezoidal sayılarda daha karmaşıklaşır ve elle hesapta hata riski taşır. Son olarak bisector, centroid kadar yaygın bilinmediği için raporu okuyan bir uzman, hangi durulaştırma kuralının kullanıldığını sormadan sonucu centroid sanabilir.

En yaygın hata, bisector'ı centroid ile karıştırmak ve iki yöntemin her zaman aynı sonucu vereceğini varsaymaktır. Bu yalnız simetrik bulanık sayılarda doğrudur. İkinci hata, üçgen bulanık sayı için geçerli kapalı formülü, kontrol etmeden yamuk bulanık sayıya uygulamaktır; yamuk sayıda alan hesaplaması farklı bir toplam terimi gerektirir. Üçüncü hata, hangi yarıda olduğunu (sol mu sağ mı) kontrol etmeden doğrudan bir formülü uygulamaktır; bu adım atlanırsa yanlış segmentin formülü kullanılmış olur ve sonuç yanlış çıkar.

Temel ilke şudur:

Bisector, bulanık sayının altındaki alanı adil bölen noktayı verir; bu nokta yalnız simetrik sayılarda en olası değerle ve ortalamayla çakışır, raporda hangi durulaştırma kuralının kullanıldığı açıkça belirtilmelidir.