Gauss Eğrisinde Ağırlık Merkezi Durulaştırması (Gaussian Centroid Method)

Bazı bulanık sistemlerde üyelik derecesi, üçgen ya da yamuk yerine bir Gauss (çan) eğrisiyle tanımlanır: bir tepe noktası (en yüksek üyelik) ve bu tepeden uzaklaştıkça yumuşakça azalan bir yayılım. Bu tanım özellikle sensör ölçümleri ve sürekli fiziksel büyüklüklerde tercih edilir, çünkü doğal ölçüm hatası genelde keskin köşeli değil yumuşak bir dağılım izler. Bu kart, böyle bir Gauss bulanık sayısını tek bir kesin sayıya indiren durulaştırma kuralını anlatır. Çıktısı tek bir kesin puandır; ağırlık üretmez, yalnız bir Gauss bulanık sayıyı bir sayıya çevirir. Bu kural, klasik üçgen sayılardaki centroid'in Gauss eğrisine uyarlanmış biçimidir ve mühendislik ile bulanık kontrol uygulamalarında sıklıkla kullanılır.

Fikir, üçgen bulanık sayılardaki centroid ile aynıdır: üyelik eğrisinin altında kalan alanın ağırlık merkezini bulmak. Gauss eğrisinin özel bir özelliği vardır: eğri simetrikse (sola ve sağa aynı yayılımla açılıyorsa) ağırlık merkezi tam olarak tepe noktasına denk gelir, hiçbir ekstra hesap gerekmez. Bu, Gauss centroid'i çoğu zaman "tepe noktasını al" kadar basit kılar. Ama gerçek uygulamalarda bir ölçümün hata payı her zaman iki yöne eşit yayılmaz; örneğin bir sensör, gerçek değerin altını nadiren, üstünü sık aşabilir. Böyle durumlarda eğri iki yana farklı genişlikte açılır ve artık simetrik değildir; bu durumda ağırlık merkezi tepe noktasından kayar.

Bu felsefenin bir sonucu vardır: Gauss centroid, "yayılımın simetrik olduğu" varsayımı doğruyken çok basit, yanlışken gözden kaçırılması kolay bir kuraldır. Bir uygulamada ölçüm hatası bilinen bir yöne (örneğin hep aşağı yönlü) daha genişse, bu asimetriyi görmezden gelip yalnız tepe noktasını raporlamak, gerçek belirsizliği eksik anlatır.

Yöntem iki adımda ilerler.

Birinci adım, simetrik Gauss eğrisinin ağırlık merkezini bulmak. Bir Gauss bulanık sayı, bir tepe noktası (en yüksek üyelik değerinin bulunduğu nokta) ve bir yayılım genişliğiyle tanımlanır. Eğrinin kendisi simetrik olduğu için, alanın ağırlık merkezi cebirsel olarak tam tepe noktasına eşittir; ek bir hesaba gerek kalmaz.

İkinci adım, iki yana farklı yayılan (asimetrik) Gauss eğrisinde ağırlık merkezini bulmak. Bazı uygulamalarda eğrinin sol ve sağ yayılımı farklıdır; bu, iki yarım Gauss eğrisinin bir tepe noktasında birleştirilmesiyle tanımlanır. Bu durumda eğri artık simetrik değildir ve ağırlık merkezi, tepe noktasından, iki yayılım arasındaki farkla orantılı biçimde sapar. Sapma, geniş yayılan tarafa doğrudur.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Bu kuralın verdiği sayı, Gauss eğrisinin alan ağırlıklı ortalamasıdır. Eğri simetrikse bu sayı tepe noktasıyla birebir aynıdır ve "en olası değer" olarak da okunabilir. Eğri asimetrikse bu sayı tepe noktasından sapar ve artık yalnız "en olası değer" değil, "yayılımın da hesaba katıldığı dengeli bir özet" anlamına gelir. İki seçeneğin tepe noktaları birbirine çok yakın olsa bile, yayılımları farklıysa durulaştırılmış puanları belirgin biçimde ayrışabilir.

Bu nedenle:

"Durulaştırılmış puan, ölçümün en olası (tepe) değeridir"

yerine:

"Durulaştırılmış puan, ölçümün en olası değeri ile yayılımının birlikte özetidir; yayılım simetrikse ikisi çakışır, simetrik değilse durulaştırılmış puan geniş yayılan tarafa doğru kayar"

biçiminde yazmak doğrudur.

Bu kural bulanık veriyle çalışır, özellikle Gauss (çan eğrisi) biçiminde tanımlanmış bulanık sayılarla. DecisionMind'da bu yapı taşının bağımsız bir uzantısı yoktur; üçgen bulanık sayılarla çalışan centroid yapı taşından ayrıdır ve yalnız Gauss tipi bulanık girdilerde kullanılır. Elinizde bir tepe noktası (ortalama) ve bir ya da iki yayılım değeri (simetrikse tek, asimetrikse sol ve sağ ayrı ayrı) olmalıdır; yayılım değerleri sıfırdan büyük olmalıdır. Bu veri genellikle bir sensörün kalibrasyon belirsizliğinden, tekrarlı ölçümlerin dağılımından ya da uzmanların "yaklaşık şu değer, ama şu kadar sapabilir" biçimindeki yargısından gelir.

Elinizdeki bulanık veri, üçgen ya da yamuk yerine doğal biçimde bir çan eğrisiyle tanımlanmışsa (örneğin sensör ölçüm hatası, tekrarlı deney sonuçları) bu kural doğru seçimdir. Yayılımın iki yöne eşit olmadığı biliniyorsa (örneğin bir cihazın hep bir yönde sapma eğilimi varsa) asimetrik biçim kullanılmalı, sadece tepe noktası raporlanmamalıdır. Veriniz üçgen ya da yamuk bulanık sayı biçiminde verilmişse (keskin köşeli, uzmanın "en az, en olası, en çok" dediği türden) klasik centroid, bisector ya da MOM kuralları daha uygundur; Gauss formülünü üçgen veriye uygulamak yanlış bir tip eşlemesi olur.

Çan eğrisi (Gauss) biçiminde ölçüm belirsizliği, simetrik → Gauss Centroid (doğrudan tepe noktası)

Çan eğrisi biçiminde ölçüm belirsizliği, asimetrik → Gauss Centroid (asimetrik formül)

Üçgen/yamuk bulanık sayı (uzman yargısı, "en az en olası en çok") → Centroid, Bisector ya da MOM

Tip-2 bulanık sayı (üst ve alt sınır birlikte) → Tip İndirgeme

Bu kuralın en açık üstünlüğü, simetrik durumda hesabın son derece basit olmasıdır: tepe noktasını almak yeterlidir, ek bir formüle gerek yoktur. Gauss eğrisi, doğal ölçüm hatasını üçgen ya da yamuktan daha gerçekçi temsil eder, çünkü fiziksel süreçlerde hata genelde köşeli değil yumuşak bir dağılım izler. Asimetrik biçim, bir ölçümün iki yöne farklı güvenilirlikte olduğu bilgisini (örneğin bir sensörün aşağı yönlü sapmaya daha yatkın olduğu bilgisini) doğrudan sonuca yansıtabilir.

Bu kuralın sınırlılıkları veri gereksinimlerinden doğar. Zadeh'in (1965) tanımladığı genel bulanık küme çerçevesinde Gauss biçimi özel bir seçimdir; verinin gerçekten bu biçime uyup uymadığı kontrol edilmelidir, aksi hâlde yanlış bir varsayımla çalışılmış olur. Runkler (1997), farklı durulaştırma kurallarının hangi uygulama özelliklerine uyduğunu karşılaştırırken, eğri biçimiyle durulaştırma kuralı arasındaki uyumsuzluğun sonucu bozabileceğini göstermiştir. Asimetrik Gauss formülü, simetrik duruma göre daha az bilinir ve elle hesapta unutulması ya da yanlış uygulanması kolaydır. Son olarak, yayılım değerleri (sigma) küçük bir ölçüm hatasından mı yoksa büyük bir belirsizlikten mi geldiği ayrı bir yorum gerektirir; kural bu ayrımı kendiliğinden yapmaz.

En yaygın hata, asimetrik bir Gauss eğrisinde yalnız tepe noktasını (ortalamayı) raporlayıp yayılım farkını görmezden gelmektir; bu, simetrik formülü simetrik olmayan bir veriye uygulamakla aynı sonucu doğurur. İkinci hata, yayılım genişliğini (sigma) eğrinin destek aralığıyla (üyeliğin sıfıra düştüğü uç noktalar) karıştırmaktır; sigma tek başına simetrik bir Gauss'un ağırlık merkezini etkilemez, ama bu iki kavram sıkça birbirine karıştırılır. Üçüncü hata, üçgen bulanık sayı formülünü (üç köşenin ortalaması) Gauss tipi veriye uygulamaktır; bu yanlış bir formüldür ve doğru sonucu vermez.

Temel ilke şudur:

Gauss centroid, çan eğrisinin ağırlık merkezini verir; eğri simetrikse bu tepe noktasıyla çakışır, simetrik değilse geniş yayılan tarafa doğru kayar ve raporda bu kaymanın nedeni açıklanmalıdır.