Ağırlık Merkezi Durulaştırması (Centroid Method)

Durulaştırma, bulanık bir sonucu tek bir kesin sayıya indiren son adımdır. Bulanık bir yöntem (örneğin bulanık SAW ya da bulanık TOPSIS) her seçenek için üç köşeli bir bulanık puan üretir; bu puanı sıralamaya sokmak için tek sayıya indirmek gerekir. Centroid bu indirgemeyi, fizikteki ağırlık merkezi fikrini ödünç alarak yapar: bulanık sayının altındaki alanı bir levha gibi düşünürse, bu levhanın dengede durduğu noktayı arar. Çıktısı tek bir kesin puandır; ağırlık üretmez, seçenekleri elemez, yalnız bir bulanık sayıyı bir sayıya çevirir. Centroid, Mamdani ve Assilian'ın (1975) ilk bulanık kontrolcü deneyinden bu yana bulanık sistemlerin standart durulaştırma kuralı olmuştur. Bulanık çok kriterli karar yöntemlerinin büyük çoğunluğu son adımda bu kuralı kullanır.

Centroid'in arkasındaki fikir "ortalamayı al" mantığıdır, ama sıradan bir ortalama değil, alana göre ağırlıklandırılmış bir ortalamadır. Bulanık sayının her noktası, o noktadaki üyelik derecesiyle orantılı bir "ağırlık" taşır; centroid bu ağırlıkların dengelendiği noktayı bulur. Üçgen bir bulanık sayı için bu, üç köşenin aritmetik ortalamasına eşittir; sayı simetrikse bu nokta zaten tepe noktasıyla çakışır, çarpıksa tepe noktasından sapar ve daha uzun kuyruğa doğru kayar.

Bu felsefenin bir sonucu vardır: centroid, bulanık sayının tüm biçimini (her iki kuyruğu da dahil ederek) hesaba katar. Bir uygulamada "belirsizliğin bütün aralığını temsil eden dengeli bir özet" isteniyorsa centroid doğru sorunun cevabıdır. Yalnız "en olası değer" ya da yalnız "alanın adil ortası" isteniyorsa, MOM ya da bisector gibi başka kurallar farklı bir soruya cevap verir.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, genel ağırlık merkezi fikrini kurmak. Bulanık sayının üyelik eğrisi altında kalan alan bir kütle gibi ele alınır; bu kütlenin x eksenindeki ağırlık merkezi aranan sayıdır.

İkinci adım, üçgen bulanık sayı için kapalı formülü uygulamak. Üçgenin alanı, bir üçgenin alanı gibi hesaplanabildiği için ağırlık merkezi de üç köşenin aritmetik ortalamasına eşittir. Bu, centroid'i elle hesaplanabilir kılan pratik bir kısayoldur.

Üçüncü adım, yamuk bulanık sayı için kapalı formülü uygulamak. Yamuk bir bulanık sayının alanı iki üçgen ile bir dikdörtgenin toplamından oluşur; ağırlık merkezi bu üç alt alanın kendi ağırlık merkezlerinin, alanlarına göre ağırlıklı ortalaması alınarak bulunur. Üçgen formülü (üç köşenin ortalaması) burada doğrudan uygulanamaz.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Centroid'in verdiği sayı, bulanık puanın alan ağırlıklı ortalamasıdır. Bu sayı "en olası değer" değildir; bulanık sayı çarpıksa centroid, tepe noktasından (en olası değerden) sapar ve daha uzun kuyruğa doğru kayar. İki seçeneğin centroid puanı birbirine yakınsa bu, iki bulanık puanın toplam alanının benzer biçimde dengelendiğini gösterir; ama bu iki puanın şekli (kuyrukların uzunluğu, tepe noktasının konumu) çok farklı olabilir. Centroid tek başına bu şekil farkını göstermez.

Bu nedenle:

"Durulaştırılmış puan, bulanık sayının en olası değeridir"

yerine:

"Durulaştırılmış puan, bulanık sayının alanının ağırlık merkezidir; sayı simetrikse en olası değerle çakışır, çarpıksa daha uzun kuyruğa doğru kayar"

biçiminde yazmak doğrudur.

Centroid bulanık veriyle çalışır: üçgen ya da yamuk bulanık sayı. DecisionMind'da bu yapı taşının bağımsız bir uzantısı yoktur; centroid tek başına bir aile değil, başka bulanık yöntemlerin (fuzzy SAW, fuzzy TOPSIS, fuzzy VIKOR gibi) son adımında kullanılan bir bileşendir. Elinizde geçerli bir üçgen bulanık sayı (üç köşe, küçükten büyüğe sıralı) ya da yamuk bulanık sayı (dört köşe, küçükten büyüğe sıralı) olmalıdır. Genellikle bu sayı, bir host yöntemin ağırlıklı toplama ya da uzaklık adımından çıkan toplu bulanık puandır; centroid bu puanı durultup sıralamaya hazır hale getirir. Seçenek ya da kriter sayısında bir sınır yoktur.

Aggregated bulanık puanın genel eğilimini, yani hem tepe noktasını hem kuyruklarını birlikte özetleyen dengeli bir sayı gerektiğinde centroid uygun bir seçimdir. Bu, durulaştırma kuralları arasında en yaygın bilineni ve en kolay elle kontrol edileni olduğu için, aksi bir gerekçe yoksa varsayılan tercih olarak da kullanılabilir. Uygulamanın ihtiyacı yalnız "en olası/tipik değer" ise, yani kuyrukların genişliği değil zirvenin konumu önemliyse, MOM daha doğru sorunun cevabıdır. Alanın "adil ortası" (solundaki ve sağındaki alan eşit) isteniyorsa bisector tercih edilir.

Genel eğilimi (hem tepe hem kuyruklar) özetleyen tek sayı → Centroid

"En olası/tipik değer" gerekiyor → MOM

"Alanı adil bölen nokta" gerekiyor → Bisector

Belirsizliğin genişliği de raporlanmalı → Tip-2 bulanık sayılarda Tip İndirgeme

Bulanık değil sezgisel (üyelik/üye-olmama çifti) veri → Skor Fonksiyonu

Centroid'in en açık üstünlüğü hesap kolaylığıdır: üçgen bulanık sayıda üç köşenin ortalamasını almak kadar basittir ve elle kolayca doğrulanabilir. En yaygın bilinen ve en çok yayınlanan durulaştırma kuralı olduğu için, farklı çalışmalar arasında karşılaştırma yapmak isteyen bir okuyucu için ortak bir referans noktası sağlar. Bulanık sayının tüm biçimini (her iki kuyruğu da) hesaba kattığı için, yalnız tepe noktasına bakan MOM'a göre daha fazla bilgi taşır.

Centroid'in sınırlılıkları da bu kapsayıcılıktan doğar. Runkler (1997), farklı durulaştırma yöntemlerini karşılaştırırken centroid'in uzun bir kuyruktan orantısız etkilenebileceğini, yani tek bir uç değerin sonucu belirgin biçimde kaydırabileceğini göstermiştir. Talon ve Curt (2017), gerçek bir mühendislik uygulamasında (baraj performansı değerlendirmesi) centroid ile diğer durulaştırma kurallarının aynı bulanık girdiden farklı puanlar ürettiğini ve bu farkın raporlanması gerektiğini göstermiştir. Yamuk bulanık sayılarda üçgen formülü (üç köşenin ortalaması) doğrudan uygulanamaz; ayrı bir formül gerekir ve bu formülü hatırlamadan uygulamak yaygın bir hatadır. Son olarak centroid, tepe noktasının kendisini değil alanın dengesini raporladığı için, "en olası" bir yorum bekleyen bir okuyucuyu yanıltabilir.

En yaygın hata, üçgen bulanık sayı formülünü (üç köşenin ortalaması) kontrol etmeden yamuk bulanık sayıya uygulamaktır; bu, yanlış bir sonuç üretir. İkinci hata, centroid puanını "en olası değer" diye raporlamaktır; bu yalnız simetrik bulanık sayılarda doğrudur. Üçüncü hata, iki seçeneğin centroid puanları birbirine yakın çıktığında bulanık puanların şeklinin de benzer olduğunu varsaymaktır; aynı centroid'e çok farklı biçimli bulanık sayılar (dar ve simetrik ya da geniş ve çarpık) yol açabilir.

Temel ilke şudur:

Centroid, bulanık sayının alan ağırlıklı ortalamasını verir; bu sayı bulanık sayının biçimini (kuyrukların genişliğini) özetler ama göstermez, raporda hangi durulaştırma kuralının kullanıldığı açıkça belirtilmelidir.