Tepe Noktası Ortalaması Durulaştırması (Mean of Maxima)

Durulaştırma, bulanık bir sonucu tek bir kesin sayıya indiren son adımdır. MOM (Mean of Maxima, tepe noktaları ortalaması) bu indirgemeyi en doğrudan yoldan yapar: bulanık sayının "en olası" olduğu bölgeyi bulur ve oradan tek sayı üretir. Üçgen bir bulanık sayıda bu, tepe noktasının kendisidir. Yamuk bir bulanık sayıda üyelik en yüksek değerine (genelde 1'e) düz bir aralıkta ulaşır; MOM bu aralığın orta noktasını verir. Çıktısı tek bir kesin puandır; kuyrukların ne kadar geniş ya da dar olduğuyla ilgilenmez, yalnız zirvenin nerede olduğuyla ilgilenir. MOM, klasik durulaştırma kuralları arasında centroid ve bisector ile birlikte en çok anılan üç yöntemden biridir; kökeni bulanık kontrol sistemlerine dayanır.

MOM'un arkasındaki fikir "en olasıyı al, gerisini bırak" mantığıdır. Bulanık bir sayı, bir aralıktaki değerlere farklı derecede inanç dağıtır; MOM bu dağılımın tamamıyla değil, yalnız en yüksek inancın toplandığı noktayla ilgilenir. Bu, centroid'in "tüm alanı hesaba kat" felsefesinin tam karşısındadır. MOM'a göre, bir bulanık sayının kuyrukları ne kadar uzun ya da kısa olursa olsun, karar için asıl önemli olan "en olası" değerdir; kuyruklar yalnız bu değerin etrafındaki belirsizliği gösterir ama kararın kendisini değiştirmemelidir.

Bu felsefenin bir sonucu vardır: MOM, çarpık (asimetrik) bulanık sayılarda centroid'den farklı bir sonuç verir, çünkü centroid uzun kuyruğu hesaba katıp o yöne kayarken MOM hiç kaymaz. Bir uygulamada "tipik/en olası senaryo" isteniyorsa MOM doğru sorunun cevabıdır; "olası tüm senaryoların dengeli bir özeti" isteniyorsa centroid ya da bisector farklı bir soruya cevap verir.

Yöntem iki adımda ilerler.

Birinci adım, üyelik derecesinin en yüksek olduğu noktaları (ya da aralığı) bulmak. Üçgen bir bulanık sayıda üyelik yalnız tek bir noktada (tepe noktasında) en yüksek değerine ulaşır. Yamuk bir bulanık sayıda üyelik, iki köşe arasında düz bir aralıkta en yüksek değerini korur; bu aralığın tamamı "tepe" sayılır.

İkinci adım, bu noktanın (ya da aralığın) ortalamasını almak. Üçgen bulanık sayıda tepe tek nokta olduğu için sonuç doğrudan o noktadır, ek bir işlem gerekmez. Yamuk bulanık sayıda tepe bir aralık olduğu için sonuç, bu aralığın iki ucunun ortalamasıdır.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

MOM'un verdiği sayı, bulanık sayının "en olası" bölgesidir. Bu sayı "tüm alanın ortalaması" değildir; bulanık sayı çarpıksa centroid bu sayıdan uzaklaşır ve daha uzun kuyruğa doğru kayar, MOM ise hiç kaymaz. İki seçeneğin MOM puanı birbirinden farklıysa, bu fark yalnız zirve konumlarındaki farkı yansıtır; kuyrukların genişliği (yani belirsizliğin büyüklüğü) bu puana hiç yansımaz. Bu yüzden MOM'a göre birbirine eşit görünen iki seçenek, aslında çok farklı belirsizlik düzeylerine sahip olabilir.

Bu nedenle:

"Durulaştırılmış puan, bulanık sayının genel eğilimini (ortalamasını) yansıtır"

yerine:

"Durulaştırılmış puan, yalnız bulanık sayının en olası (zirve) bölgesini yansıtır; kuyrukların genişliği, yani belirsizliğin büyüklüğü bu puana yansımaz ve ayrıca raporlanmalıdır"

biçiminde yazmak doğrudur.

MOM bulanık veriyle çalışır: üçgen ya da yamuk bulanık sayı. DecisionMind'da bu yapı taşının bağımsız bir uzantısı yoktur; MOM tek başına bir aile değil, başka bulanık yöntemlerin (fuzzy SAW, fuzzy TOPSIS, fuzzy VIKOR gibi) son adımında kullanılan bir bileşendir. Elinizde geçerli bir üçgen bulanık sayı (üç köşe, küçükten büyüğe sıralı) ya da yamuk bulanık sayı (dört köşe, küçükten büyüğe sıralı) olmalıdır. Genellikle bu sayı, bir host yöntemin ağırlıklı toplama ya da uzaklık adımından çıkan toplu bulanık puandır; MOM bu puanı durultup sıralamaya hazır hale getirir. Seçenek ya da kriter sayısında bir sınır yoktur.

Uygulamanın ihtiyacı "en olası/tipik senaryo" ise, yani kuyrukların genişliği değil zirvenin konumu önemliyse, MOM doğru seçimdir. Hesap yükü en düşük durulaştırma kuralı olduğu için, hızlı bir ilk okuma gerektiğinde de tercih edilebilir. Bulanık sayı belirgin biçimde çarpıksa ve kuyrukların genişliği (belirsizliğin büyüklüğü) kararı etkileyecekse MOM tek başına yeterli değildir; bu durumda centroid ya da bisector, kuyrukları da hesaba katan bir özet sunar. Bulanık sayı çok geniş bir düz tepeye sahipse (birçok değer eşit derecede "en olası" ise) MOM'un verdiği tek sayı bu geniş belirsizliği gizleyebilir; bu durumda tepe aralığının kendisinin raporlanması daha dürüst olur.

"En olası/tipik senaryo" gerekiyor, hızlı hesap önemli → MOM

Kuyrukların genişliği (belirsizlik) kararı etkiliyor → Centroid

"Alanı adil bölen nokta" gerekiyor → Bisector

Tepe çok geniş bir düz aralıksa → Tepe aralığının kendisi ayrıca raporlanmalı

Bulanık değil sezgisel (üyelik/üye-olmama çifti) veri → Skor Fonksiyonu

MOM'un en açık üstünlüğü hesap kolaylığıdır: üçgen bulanık sayıda tepe noktasını okumak yeterlidir, herhangi bir alan hesabı gerekmez. "En olası senaryo nedir" sorusuna doğrudan cevap verir; bu, bazı uygulamalarda (örneğin bir cihazın en olası arıza noktasını bulmak) tam olarak aranan bilgidir. Kuyruklardaki uç değerlerden etkilenmediği için, nadir görülen aşırı senaryoların sonucu çarpıtmasını istemeyen uygulamalarda avantaj sağlar.

MOM'un sınırlılıkları da bu dar odaktan doğar. Van Leekwijck ve Kerre (2001), MOM'un süreklilik sorununu ayrıntılı incelemiştir: bulanık sayı küçük bir biçimde değişse bile (örneğin tepe aralığı çok az genişlese) MOM'un verdiği sayı sıçrama yapabilir. Bunun nedeni, yöntemin yalnız tepeye bakması ve tepenin hemen dışındaki bilgiyi tamamen yok saymasıdır. Runkler (1997), durulaştırma kurallarını karşılaştırırken MOM'un kuyrukları göz ardı etmesinin, kuyrukların anlamlı bilgi taşıdığı uygulamalarda bir bilgi kaybına yol açtığını göstermiştir. MOM, bulanık sayının düz bir tepesi varsa bu aralığın tamamını "eşit olası" sayar; aslında aralık içinde ince bir eğim olsa bile bunu göremez. Son olarak MOM, iki farklı belirsizlik düzeyine sahip (biri dar biri geniş kuyruklu) iki seçeneği, tepe noktaları aynıysa ayırt edemez.

En yaygın hata, MOM puanını "bulanık sayının ortalaması" diye raporlamaktır; MOM ortalama değil zirve okur, bu iki kavram yalnız simetrik bulanık sayılarda çakışır. İkinci hata, MOM'u belirgin biçimde çarpık (kuyruğu çok uzun) bir bulanık sayıya uygulayıp kuyruğun taşıdığı belirsizliği hiç raporlamamaktır; MOM bu belirsizliği zaten görmez, raporun bunu ayrıca belirtmesi gerekir. Üçüncü hata, iki seçeneğin çarpımsal/farklı biçimli bulanık sayı olabileceğini düşünmeden yalnız MOM puanlarını karşılaştırıp "eşit" ya da "farklı" sonucuna varmaktır; aynı MOM puanına çok farklı genişlikte kuyruklar eşlik edebilir.

Temel ilke şudur:

MOM, bulanık sayının en olası bölgesini verir; kuyrukların genişliğini görmez, bu yüzden belirsizliğin büyüklüğü önemliyse raporda ayrıca gösterilmelidir.