Einstein T-normu (Einstein Çarpımı ve Toplamı)

T-normlar, bulanık ve sezgisel bulanık küme kuramında "VE" bağlacının matematiksel karşılığıdır. İki üyelik derecesini ya da bir sezgisel bulanık sayının iki bileşenini tek bir dereceye indirger. Einstein t-normu bunu sabit, ayarlanabilir bir parametre taşımayan bir kuralla yapar. Kendi başına bir karar yöntemi değildir; sezgisel bulanık TOPSIS, sezgisel bulanık ağırlıklı ortalama gibi yöntemlerin içinde, birden çok uzmanın ya da birden çok kriterin değerlendirmesini birleştiren adımı çalıştırır. Çıktısı bir sıra değil, tek bir sayı ya da tek bir sezgisel bulanık sayıdır (yeni bir üyelik-karşı-üyelik çifti). Xu ve Yager (2006), sezgisel bulanık sayıların toplanması ve çarpılması için bu kuralı önermiştir; cebirsel toplulaştırmaya göre biraz daha temkinli sonuç isteyen çalışmalarda tercih edilir.

Bir t-normun görevi şu soruya cevap vermektir: iki koşul da bir miktar sağlanıyorsa, ikisinin birlikte sağlanma derecesi nedir? En bilinen cevap çarpımdır; bu cebirsel t-norm olarak adlandırılır. Einstein t-normu aynı soruya biraz daha çekingen bir cevap verir ve sonucu her zaman cebirsel çarpımdan küçük ya da ona eşit tutar. Adını görelilikteki hız toplama kuralından alır: orada da iki büyüklük birleştirilirken sonuç sıradan toplamadan biraz daha "sıkışık" çıkar ve bir üst sınırı aşamaz. Karar bağlamında bu, iki bağımsız kanıtı ya da uzman görüşünü birleştirirken aşırı iyimser olmamak isteyen bir tercihin matematiğe dökülmüş hâlidir. Felsefi sonucu şudur: Einstein toplulaştırması cebirsel toplulaştırmadan daha az telafi edicidir. İki değerlendirmeden biri zayıfsa Einstein birleşimi bu zayıflığı cebirsel birleşimden daha az affeder.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, Einstein çarpımı. İki değer (örneğin iki bağımsız kanıtın güven dereceleri) birleştirilirken sıradan çarpımdan başlanır, ama sonuç sıradan çarpımdan biraz küçük çıkacak biçimde düzeltilir. Örneğin 0,6 ile 0,7'nin sıradan çarpımı 0,42'dir; aynı iki değerin Einstein çarpımı 0,375'tir. Einstein çarpımı her zaman sıradan çarpımdan küçük ya da ona eşittir.

İkinci adım, Einstein toplamı. Bu, çarpımın aynadaki görüntüsü gibidir: iki değer "ya bu ya da bu" mantığıyla, yani VEYA bağlacına yakın bir mantıkla birleştirilir. 0,6 ile 0,7'nin sıradan (olasılıksal) toplamı 0,88 iken Einstein toplamı 0,915'tir. Einstein toplamı sıradan toplamdan büyük ya da ona eşittir, ama ikisinin de aşamayacağı üst sınıra, yani 1'e, yaklaşırken daha yumuşak davranır.

Üçüncü adım, iki sezgisel bulanık sayının birleştirilmesi. Sezgisel bulanık bir sayı iki dereceden oluşur: üyelik, yani ne kadar olumlu olduğu, ve karşı-üyelik, yani ne kadar olumsuz olduğu. İki değerlendirme (iki uzmanın ya da iki kriterin) birleştirilirken üyelik dereceleri Einstein toplamıyla, karşı-üyelik dereceleri Einstein çarpımıyla bir araya gelir. Böylece olumlu kanıtlar daha cömert, olumsuz kanıtlar daha sıkı bir kuralla birleşir ve sonuç yine geçerli bir sezgisel bulanık sayı olur.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Einstein t-normunun çıktısı tek başına bir karar sonucu değildir; bir ev sahibi yöntemin ara adımıdır. Çıktı ya iki sayının birleşiminden çıkan tek bir sayıdır ya da iki sezgisel bulanık sayının birleşiminden çıkan yeni bir üyelik-karşı-üyelik çiftidir. Bu çiftten türetilen puan, yani üyelik eksi karşı-üyelik, birleşik kanıtın genel eğilimini gösterir. Puanın 1'e yakın olması güçlü olumlu eğilim, -1'e yakın olması güçlü olumsuz eğilim demektir. Bu puan yalnız aynı t-norm seçimiyle hesaplanan başka puanlarla karşılaştırılabilir. Cebirsel toplulaştırmadan çıkan puanla Einstein toplulaştırmasından çıkan puan aynı ölçekte görünse de farklı birleştirme kurallarının ürünüdür ve doğrudan yan yana konulamaz.

Bu nedenle:

"Einstein toplulaştırması gerçek ortalamayı verdi"

yerine:

"Bu değerlendirmeler, Einstein t-normunun temkinli birleştirme kuralıyla şu tek sezgisel bulanık sayıya indirgendi; aynı veriler cebirsel kuralla birleştirilseydi puan farklı çıkardı"

biçiminde yazmak doğrudur.

Einstein t-normu sezgisel bulanık veriyle çalışır: her değerlendirme bir üyelik ve bir karşı-üyelik derecesinden oluşur, ikisinin toplamı 1'i aşamaz. Aynı kural, Pisagorcu bulanık ve q-döngü bulanık gibi yakın veri türlerinde de kullanılır. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir uzantısı yoktur; Einstein t-normu, Hamacher t-normunun γ=2 alındığındaki özel durumuyla birebir aynıdır. Elinizde en az iki sezgisel bulanık değer olmalıdır: iki uzman görüşü, iki kriter değerlendirmesi ya da bir sezgisel bulanık sayının kendi iki bileşeni. Einstein t-normu ağırlık istemez ve üretmez; hangi ev sahibi yöntemin içinde çalıştığına bağlı olarak ağırlıklandırma o yöntemde ayrıca ele alınır.

Veriniz sezgisel ya da Pisagorcu bulanıksa ve birden çok kanıtı ya da uzman görüşünü cebirsel çarpımdan biraz daha temkinli bir kuralla birleştirmek istiyorsanız Einstein t-normu uygun bir seçimdir. Kullanılmaması gereken durumlar şunlardır: veriniz kesinse t-norm gereksizdir, doğrudan ağırlıklı ortalama yeterlidir. Temkin derecesini veri setinize göre ayarlamak istiyorsanız sabit bir kural olan Einstein yerine parametreli bir aile gerekir. Hangi t-normun seçildiğinin raporda gerekçelendirilemeyeceği durumlarda da bu seçim şeffaflığı zedeler.

Sezgisel bulanık veri, cebirsel çarpımdan biraz daha temkinli birleştirme → Einstein t-normu

Aynı ihtiyaç ama temkin derecesi veriye göre ayarlanabilsin → Hamacher t-normu (γ parametresi)

Aynı ihtiyaç, uç noktalarda daha keskin bir kesme isteniyor → Schweizer-Sklar t-normu (p parametresi)

Veri kesin, birleştirme kuralına gerek yok → Doğrudan ağırlıklı ortalama

Einstein t-normunun en önemli üstünlüğü sadeliğidir. Parametre taşımaz, bu yüzden "hangi parametre seçilmeli" tartışmasını baştan ortadan kaldırır. Hamacher ailesinin γ=2 özel durumu olduğu için hem kendi başına hem daha geniş bir ailenin tanınmış bir üyesi olarak literatürde iyi bilinir. Cebirsel toplulaştırmaya göre aşırı iyimser sonuçları frenler ve kapalı bir formülle hesaplanır; iterasyon ya da optimizasyon gerektirmez.

Sınırlılıkları da aynı sadelikten doğar. Parametre içermediği için ayarlanamaz; temkin derecesi sabittir ve veri setinin özelliklerine göre esnetilemez, oysa Hamacher ve Schweizer-Sklar aileleri bunu bir parametreyle yapabilir (Klement, Mesiar ve Pap, 2000). İkincisi, orta büyüklükteki değerlerde (0,4-0,6 aralığı gibi) cebirsel toplulaştırmaya çok yakın sonuçlar üretir; bu durumda "neden Einstein seçildi" sorusuna güçlü bir gerekçe sunmak zorlaşır. Üçüncüsü, hangi t-normun birleştirme için "doğru" kural olduğu konusunda literatürde fikir birliği yoktur; seçim çoğunlukla gelenek ya da kullanılan yazılımın varsayılanıdır (Xia, Xu ve Zhu, 2012).

En yaygın hata, Einstein çarpımını sıradan çarpımla karıştırmaktır; Einstein çarpımı sıradan çarpımdan her zaman küçük ya da eşittir, hiçbir zaman büyük olamaz. İkinci hata, üyelik ve karşı-üyeliğe hangi işlemin uygulandığını karıştırmaktır. Üyelik Einstein toplamıyla, karşı-üyelik Einstein çarpımıyla birleşir; bu ters çevrilirse toplamı 1'i aşan, geçersiz bir sezgisel bulanık sayı ortaya çıkabilir. Üçüncü hata, Einstein t-normunu Hamacher'den bağımsız, ayrı bir yöntem sanmaktır; Einstein, Hamacher ailesinin γ=2'deki tek bir noktasıdır ve aralarındaki ilişki raporda belirtilmelidir.

Temel ilke şudur:

Einstein t-normu bir toplulaştırma sonucunu değil, o sonucun hangi kuralla üretildiğini belirler; rapor bu kuralı adıyla söylemelidir.