Frank T-normu (Frank Çarpım-Toplam Ailesi)

Frank t-normu, iki üyelik derecesini ya da bir sezgisel bulanık sayının iki bileşenini birleştiren, kullanıcının belirlediği bir s parametresine göre şekil değiştiren bir kurallar ailesidir. Kendi başına bir karar yöntemi değildir; sezgisel ve q-döngü bulanık ağırlıklı ortalama gibi yöntemlerin içinde, birden çok uzmanın ya da birden çok kriterin değerlendirmesini birleştiren adımı çalıştırır. Çıktısı bir sıra değil, tek bir sayı ya da yeni bir üyelik-karşı-üyelik çiftidir. Frank (1979), hangi ikili işlemlerin hem t-norm aksiyomlarını hem de kendi eş-işlemiyle (t-conorm) birlikte belirli bir cebirsel özelliği (eşzamanlı çağrışırlık) sağladığını araştırırken bu aileyi tanımlamış; aile daha sonra q-döngü ortopair bulanık karar verme çalışmalarında toplulaştırma operatörü olarak kullanılmıştır (Seikh ve Mandal, 2022).

Bir t-normun görevi şu soruya cevap vermektir: iki koşul da bir miktar sağlanıyorsa, ikisinin birlikte sağlanma derecesi nedir? Frank ailesi, matematikçilerin "t-norm ile onun eş-işlemi (t-conorm) birlikte hangi cebirsel özelliği koruyabilir" sorusuna en genel cevabı ararken ortaya çıkmıştır; bu yüzden Frank ailesi, hem t-norm hem t-conorm aksiyomlarını hem de bu özel cebirsel özelliği aynı anda sağlayan tek aile olarak bilinir. Parametre s, birleştirmenin ne kadar "sert" ya da "yumuşak" olacağını belirler. s küçüldükçe (1'e yaklaştıkça) sıradan çarpıma yaklaşılır; s büyüdükçe birleştirme kuralı farklı bir eğri izler ve iki uç davranışa (en küçüğü alma ve Łukasiewicz kuralı) doğru kayar. Karar bağlamında bu, "birleştirme kuralının şeklini veriye göre esnetebilmek" tercihinin matematiğe dökülmüş hâlidir.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, s parametresinin seçilmesi. s sıfırdan büyük ve 1'e eşit olmayan herhangi bir sayı olabilir; s=1'e yaklaşırken kural sıradan çarpıma döner. Örneğin 0,6 ile 0,7 için s=2 alındığında Frank çarpımı yaklaşık 0,403 çıkar; bu, aynı iki değerin sıradan çarpımı olan 0,42'den küçüktür.

İkinci adım, Frank çarpımı ve toplamı. Seçilen s ile iki değer birleştirilir. Çarpım kuralı "VE" mantığına, toplam kuralı "VEYA" mantığına karşılık gelir ve birbirinin aynadaki görüntüsüdür. s=2'de 0,6 ile 0,7'nin toplamı yaklaşık 0,897 çıkar.

Üçüncü adım, iki sezgisel bulanık sayının birleştirilmesi. İki değerlendirme birleştirilirken üyelik dereceleri Frank toplamıyla, karşı-üyelik dereceleri Frank çarpımıyla bir araya gelir. Seçilen s'e göre birleşim daha yumuşak ya da daha sert olur; sonuç yine geçerli bir sezgisel bulanık sayı kalır.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Frank t-normunun çıktısı tek başına bir karar sonucu değildir; bir ev sahibi yöntemin ara adımıdır. Çıktıdan türetilen puan, yani üyelik eksi karşı-üyelik, birleşik kanıtın genel eğilimini gösterir. Bu puan yalnız aynı s parametresiyle hesaplanan başka puanlarla karşılaştırılabilir. s=2 ile hesaplanan bir puanla s=20 ile hesaplanan bir puan aynı ölçekte görünse de farklı eğrilerden gelir. s büyüdükçe seçenekler arasındaki fark genelde küçülür; bu, "s büyüdükçe sonuç daha güvenilir oldu" anlamına gelmez, aksine küçük bir veri değişikliğinin sırayı değiştirebileceği hassas bir bölgeye girildiğinin işareti olabilir.

Bu nedenle:

"Frank toplulaştırması seçeneği kesin olarak öne çıkardı"

yerine:

"Bu değerlendirmeler, s=X ile seçilen Frank kuralıyla şu puanlara indirgendi; s değiştirildiğinde sıranın nasıl değiştiği raporda gösterilmelidir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Frank t-normu sezgisel bulanık veriyle çalışır: her değerlendirme bir üyelik ve bir karşı-üyelik derecesinden oluşur, ikisinin toplamı 1'i aşamaz. Aynı kural q-döngü ortopair bulanık ve Pisagorcu bulanık veri türlerinde de kullanılır. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir uzantısı yoktur. Elinizde en az iki sezgisel bulanık değer ve bir s tercihi (s>0, s≠1) olmalıdır. Frank t-normu ağırlık istemez ve üretmez; hangi ev sahibi yöntemin içinde çalıştığına bağlı olarak ağırlıklandırma o yöntemde ayrıca ele alınır.

Veriniz sezgisel ya da q-döngü bulanıksa ve birleştirme kuralının şeklini veri setinize göre esnetmek istiyorsanız Frank t-normu uygun bir seçimdir. Kullanılmaması gereken durumlar şunlardır: veriniz kesinse t-norm gereksizdir. s=1'e çok yakın bir değer kullanacaksanız zaten sıradan çarpıma dönüldüğü için parametreli bir aile seçmenin ek bir getirisi olmaz. s için bir gerekçeniz yoksa ve yalnızca "yazılımın varsayılanı" kullanılacaksa bu, seçimi şeffaf olmaktan çıkarır.

Sezgisel bulanık veri, birleştirme eğrisinin şekli veriye göre esnetilebilsin → Frank t-normu (s)

Aynı ihtiyaç ama sabit, tartışmasız bir kural yeterli → Einstein t-normu

Ayarlanabilirlik isteniyor ama çarpım-toplam yerine kuvvet tabanlı bir aile tercih ediliyor → Schweizer-Sklar t-normu (p)

Veri kesin, birleştirme kuralına gerek yok → Doğrudan ağırlıklı ortalama

Frank t-normunun en önemli üstünlüğü matematiksel özgünlüğüdür. Hem t-norm hem t-conorm aksiyomlarını hem de eşzamanlı çağrışırlık özelliğini sağlayan tek ailedir; bu, teorik çalışmalarda tercih edilme nedenidir. Parametre s ile geniş bir davranış yelpazesi (sıradan çarpımdan farklı uç davranışlara kadar) tek bir formülle kapsanır. Kapalı bir formülle hesaplanır, iterasyon gerektirmez. q-döngü ortopair bulanık karar verme literatüründe uygulama örnekleri bulunur (Seikh ve Mandal, 2022).

Sınırlılıkları esnekliğinin bedelidir. s'nin seçimi çoğunlukla veriden değil, araştırmacının tercihinden gelir; aynı veri seti farklı s değerleriyle farklı sıralar üretebilir (Xia, Xu ve Zhu, 2012). İkincisi, s=1 sınırında formül matematiksel olarak tanımsız hâle gelir ve özel bir limit kuralı (sıradan çarpım) uygulanmalıdır; bu, uygulamada gözden kaçabilecek bir teknik ayrıntıdır. Üçüncüsü, s büyüdükçe seçenekler arasındaki puan farkları küçülme eğilimindedir; bu, sıralamayı küçük veri değişikliklerine karşı daha savunmasız hâle getirebilir. Dördüncüsü, s için raporlarda çoğu zaman bir gerekçe verilmez, sadece belirli bir değerin kullanıldığı yazılır; bu, seçimi keyfi gösterir.

En yaygın hata, s=1'i doğrudan formülde kullanmaya çalışmaktır; bu, sıfıra bölme hatasına yol açar ve yerine sıradan çarpım limiti uygulanmalıdır. İkinci hata, s=0'ı doğrudan kullanmaya çalışmaktır; bu durumda da en küçüğü alma kuralına geçilmelidir. Üçüncü hata, Frank t-normunu Hamacher t-normuyla karıştırmaktır; ikisi farklı parametrik ailelerdir ve aynı s ile aynı γ farklı sonuçlar verir. Dördüncü hata, s parametresini raporlamadan yalnızca sonucu paylaşmaktır; hangi s'nin kullanıldığı olmadan sonuç yeniden üretilemez.

Temel ilke şudur:

Frank t-normu bir toplulaştırma sonucunu değil, o sonucun hangi s ile üretildiğini belirler; s seçimi ve gerekçesi rapora yazılmalıdır.