Schweizer-Sklar T-normu (Kuvvet Tabanlı Parametrik T-norm Ailesi)

Schweizer-Sklar t-normu, iki üyelik derecesini ya da bir sezgisel bulanık sayının iki bileşenini birleştiren, kullanıcının belirlediği bir p parametresine göre şekil değiştiren bir kurallar ailesidir. Kendi başına bir karar yöntemi değildir; sezgisel ve q-döngü bulanık ağırlıklı ortalama gibi yöntemlerin içinde, birden çok uzmanın ya da birden çok kriterin değerlendirmesini birleştiren adımı çalıştırır. Çıktısı bir sıra değil, tek bir sayı ya da yeni bir üyelik-karşı-üyelik çiftidir. Schweizer ve Sklar (1960), istatistiksel metrik uzaylar üzerine yaptıkları çalışmada bu aileyi tanımlamış; aile daha sonra Klement, Mesiar ve Pap (2000) tarafından t-normların genel kuramı içinde sistematik olarak ele alınmış ve q-döngü ortopair bulanık karar verme çalışmalarında toplulaştırma operatörü olarak kullanılmıştır (Gayen, Sarkar ve Biswas, 2023).

Bir t-normun görevi şu soruya cevap vermektir: iki koşul da bir miktar sağlanıyorsa, ikisinin birlikte sağlanma derecesi nedir? Schweizer-Sklar ailesi bu soruya, iki değeri kuvvet fonksiyonlarıyla dönüştürüp topladıktan sonra sıfırın altına düşen sonuçları sıfıra kesen bir kuralla cevap verir. Parametre p, bu kesmenin ne kadar keskin olacağını belirler. p=1'de aile Łukasiewicz kuralına (en sert, en çok "sıfıra kesen" kural) eşitlenir; p sıfıra yaklaştıkça sıradan çarpıma yaklaşılır; p negatif değerlerde ise sıradan çarpımdan daha gevşek, daha "affedici" bir kurala dönüşür. Karar bağlamında bu, "iki kanıttan biri zayıfsa, birleşimin bunu ne kadar keskin biçimde cezalandıracağını" ayarlayabilme tercihinin matematiğe dökülmüş hâlidir.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, p parametresinin seçilmesi. p, sıfır dışında herhangi bir gerçek sayı olabilir; p=0'da sıradan çarpıma dönülür. Örneğin 0,6 ile 0,7 için p=1 (Łukasiewicz) alındığında çarpım 0,3 çıkar; bu, aynı iki değerin sıradan çarpımı olan 0,42'den belirgin biçimde küçüktür. p=-1 alındığında ise çarpım yaklaşık 0,477 çıkar; bu, sıradan çarpımdan büyüktür.

İkinci adım, Schweizer-Sklar çarpımı ve toplamı. Seçilen p ile iki değer birleştirilir; ara sonuç sıfırın altına düşerse birleştirme sıfırda kesilir. Çarpım kuralı "VE" mantığına, toplam kuralı "VEYA" mantığına karşılık gelir. p=1'de 0,6 ile 0,7'nin toplamı tam 1,0'a ulaşır; bu, Łukasiewicz toplamının üst sınıra en hızlı ulaşan kural olduğunu gösterir.

Üçüncü adım, iki sezgisel bulanık sayının birleştirilmesi. İki değerlendirme birleştirilirken üyelik dereceleri Schweizer-Sklar toplamıyla, karşı-üyelik dereceleri Schweizer-Sklar çarpımıyla bir araya gelir. p'ye bağlı olarak birleşim, sıradan çarpımdan (p→0) Łukasiewicz kuralına (p=1) kadar geniş bir yelpazede yer alır; sonuç yine geçerli bir sezgisel bulanık sayı kalır.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Schweizer-Sklar t-normunun çıktısı tek başına bir karar sonucu değildir; bir ev sahibi yöntemin ara adımıdır. Çıktıdan türetilen puan, yani üyelik eksi karşı-üyelik, birleşik kanıtın genel eğilimini gösterir. Bu puan yalnız aynı p parametresiyle hesaplanan başka puanlarla karşılaştırılabilir. p=-1 ile hesaplanan bir puanla p=1 ile hesaplanan bir puan aynı ölçekte görünse de tamamen farklı sıkılıktaki kurallardan gelir. p sıfıra ne kadar uzaksa (özellikle 1'e ne kadar yakınsa) sıfıra kesme etkisi o kadar güçlü hissedilir ve karşı-üyelik değerleri sık sık tam sıfıra düşebilir; bu, "birleşimde artık hiç çekince kalmadı" anlamına gelmez, kesme kuralının bir sonucudur ve raporda açıklanmalıdır.

Bu nedenle:

"Schweizer-Sklar toplulaştırması çekinceyi tamamen ortadan kaldırdı"

yerine:

"Bu değerlendirmeler, p=X ile seçilen Schweizer-Sklar kuralıyla şu puanlara indirgendi; karşı-üyeliğin sıfıra düşmesi verinin çekincesiz olduğunu değil, kesme kuralının bu p'deki etkisini gösterir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Schweizer-Sklar t-normu sezgisel bulanık veriyle çalışır: her değerlendirme bir üyelik ve bir karşı-üyelik derecesinden oluşur, ikisinin toplamı 1'i aşamaz. Aynı kural q-döngü ortopair bulanık ve Pisagorcu bulanık veri türlerinde de kullanılır. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir uzantısı yoktur. Elinizde en az iki sezgisel bulanık değer ve bir p tercihi (sıfır hariç herhangi bir gerçek sayı) olmalıdır. Schweizer-Sklar t-normu ağırlık istemez ve üretmez; hangi ev sahibi yöntemin içinde çalıştığına bağlı olarak ağırlıklandırma o yöntemde ayrıca ele alınır.

Veriniz sezgisel ya da q-döngü bulanıksa ve birleştirme kuralının sertliğini sıradan çarpımdan Łukasiewicz kuralına kadar geniş bir yelpazede ayarlamak istiyorsanız Schweizer-Sklar t-normu uygun bir seçimdir. Kullanılmaması gereken durumlar şunlardır: veriniz kesinse t-norm gereksizdir. p=0'a çok yakın bir değer kullanacaksanız zaten sıradan çarpıma dönüldüğü için parametreli bir aile seçmenin ek bir getirisi olmaz. p için bir gerekçeniz yoksa ve sonucu istediğiniz yöne çekmek için p'yi deneme yanılmayla ayarlıyorsanız bu, yöntemin amacını çarpıtır. q-rung q parametresiyle p'yi karıştırmamak gerekir; ikisi farklı şeylerdir.

Sezgisel bulanık veri, birleştirmenin sertliği sıradan çarpımdan Łukasiewicz'e kadar ayarlanabilsin → Schweizer-Sklar t-normu (p)

Aynı ihtiyaç ama çarpım-toplam eğrisi (kuvvet değil) tercih ediliyor → Frank t-normu (s)

Sabit, tek noktalı bir kural yeterli → Einstein t-normu

Veri kesin, birleştirme kuralına gerek yok → Doğrudan ağırlıklı ortalama

Schweizer-Sklar t-normunun en önemli üstünlüğü kapsayıcılığıdır. Tek bir parametreyle sıradan çarpımdan (p→0) Łukasiewicz kuralına (p=1) kadar birçok tanınmış t-normu tek çatı altında birleştirir. Kapalı bir formülle hesaplanır, iterasyon gerektirmez. q-döngü ortopair bulanık toplulaştırma operatörlerinde uygulama örnekleri bulunur (Gayen, Sarkar ve Biswas, 2023).

Sınırlılıkları esnekliğinin bedelidir. p'nin seçimi çoğunlukla veriden değil, araştırmacının tercihinden gelir; aynı veri seti farklı p değerleriyle farklı sıralar üretebilir (Xia, Xu ve Zhu, 2012). İkincisi, sıfıra kesme kuralı (ara sonuç negatifse sıfır kabul edilir) p büyüdükçe sık devreye girer ve karşı-üyelik değerlerinin tam sıfıra düşmesine yol açabilir; bu durum verideki gerçek çekinceyi gizleyebilir. Üçüncüsü, p=0 sınırında formül matematiksel olarak tanımsız hâle gelir ve özel bir limit kuralı (sıradan çarpım) uygulanmalıdır. Dördüncüsü, p için raporlarda çoğu zaman bir gerekçe verilmez; bu, seçimi keyfi gösterir.

En yaygın hata, p=0'ı doğrudan formülde kullanmaya çalışmaktır; yerine sıradan çarpım limiti uygulanmalıdır. İkinci hata, p parametresini q-döngü bulanık kümelerdeki q parametresiyle karıştırmaktır; ikisi tamamen farklı büyüklüklerdir. Üçüncü hata, p>0 için küçük x ve y değerlerinde sonucun sıfıra kesilmesini bir hesaplama hatası sanmaktır; bu, formülün max(0, …) kuralının doğal bir sonucudur ve kesme sıklıkla oluşur. Dördüncü hata, farklı p değerleriyle elde edilen iki sonucu aynı "sertlikte" hesaplanmış gibi karşılaştırmaktır.

Temel ilke şudur:

Schweizer-Sklar t-normu bir toplulaştırma sonucunu değil, o sonucun hangi sertlikte üretildiğini belirler; p seçimi, gerekçesi ve sıfıra kesme durumları rapora yazılmalıdır.