Ranking

Fuzzy ARAS: Fuzzy extension of ARAS

Turskis, Z., Zavadskas, E. K. · 2010

Overview

FUZZY-ARAS (ARAS-F), Zavadskas-Turskis (2010, TEDE) tarafından önerilen klasik ARAS yönteminin TFN-fuzzy uzantısıdır. ARAS'ın temel sezgisi şudur: her alternatifin OPTİMAL bir 'sanal' alternatif (A_0) ile RATIO karşılaştırması yapılır: alternatifin utility degree K_i = S_i/S_0 ∈ [0,1]; 1'e yakın daha iyi. Fuzzy versiyonda performans değerleri ve kriter ağırlıkları üçgen bulanık sayı (TFN) ñ = (α,β,γ) olarak verilir; uzman pair-wise AHP karşılaştırması ardından grup ağırlığı w̃_j = (w_jl, w_jm, w_ju) elde edilir: l=min, m=geometric mean (1/p)Π, u=max p uzman üzerinde (Eq.13). Defuzzification için centroid 3-term S_i = (1/3)(S_iα + S_iβ + S_iγ) Eq.23 kullanılır: bu klasik ARAS-G'nin 2-term centroid'inden (S_iα + S_iγ)/2 FARKLIDIR (TFN üçgensel, grey interval iki-uçlu). Yöntem AHP eigenvector çıktı ile ARAS ratio normalize değerini birleştirir; logistic center / supplier / transport application yoğunluğu fuzzy-MCDM literatüründe ARAS-F'yi konum-değerleme klasiği yapmıştır.

Strengths

•Method-specific: Fuzzy outranking/ranking: Triangular Fuzzy Number (TFN: l, m, u)
•Preserves fuzzy_TFN uncertainty through the pipeline rather than premature crispification at elicitation
•Native group-decision support (multi-DM aggregation built into the pipeline)

Limitations

•Assumes: Decision matrix entries are valid Fuzzy (Triangular) numbers/tuples
•Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
•Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Method assistant

Grounded explanations: it explains the method, it does not compute.

Assumptions to verify

•Decision matrix entries are valid Fuzzy (Triangular) numbers/tuples
•Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
•All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

When not to use

•Crisp data sufficient: use base ARAS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
•Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified: output ambiguous

Edge cases

•FUZZY-ARAS edge case'leri: (1) Optimal alternatif A_0 hesabı için cost kriterde min işlemi TFN üzerinde α-bazlı veya centroid-bazlı yapılabilir: paper §4 α-bazlı min kullanır (her bileşen ayrı min): engine bu kanonu izler; bu monotonik olmayan TFN için tutarsızlık yaratabilir (α > β anomaliside ek kontrol gerekir). (2) Cost normalizasyonun iki-aşaması Eq.18: x̃_ij^* = (1/γ_ij, 1/β_ij, 1/α_ij) INVERT işlemi pozitif TFN gerektirir; α_ij = 0 → bölünme hatası → ε-clamp gerekir. (3) Σ_i x̃_ij = 0 (tüm alternatifler 0) → normalization tanımsız → input validation gerekir. (4) Centroid defuzz simetrik TFN için aritmetik orta verir; asimetrik TFN'de bias yaratır: kullanıcı literatürde alternatif defuzz (signed distance, graded mean integration) test etmek isterse manifest dışında implement etmelidir.

Common pitfalls

•Tipik hatalar: (a) Centroid 3-term (Eq.23 (α+β+γ)/3) ile graded mean (α+4β+γ)/6 karıştırılır: paper kanonu 3-term; (b) Optimal A_0 satırı normalizasyondan ÖNCE eklenir, normalize edilirken Σ_i (i=0..m) toplamında A_0 dahil edilir: i=1..m yaparsanız K_i ölçeği bozulur; (c) Cost kriterler için tek-aşama 1/x̃ uygulamak yetmez: Eq.18 İKİ aşamalıdır: önce invert, sonra normalize; (d) TFN ağırlık × TFN normalize değer çarpımı klasik scalar değil, Eq.10 TFN-TFN çarpımıdır (a₁a₂, β₁β₂, γ₁γ₂): bileşen-bileşen; (e) K_i her zaman [0,1] aralığında DEĞİL: paper §4 Tab.6 K_2=0.809 vb. >1 olabilir aslında değil 0.699-0.818 arasında çünkü S_0 ≥ S_i (A_0 maximizing tasarımı garantili); ama implementation bug → S_0 yanlış hesaplanırsa K_i > 1 görülebilir, uyarı gerekir.

Worked example

1.Adım 1 (F1): Step 1: Augment matrix with optimal alternative A_0 (best per criterion). For benefit criteria take TFN-max over alternatives; for cost criteria take TFN-min. Formül: \tilde{x}_{0j} = \begin{cases} \max_{i=1}^{m}\tilde{x}_{ij} & j \in \Omega_{\max} \\ \min_{i=1}^{m}\tilde{x}_{ij} & j \in \Omega_{\min} \end{cases}, \quad \tilde{x}_{ij} = (l_{ij}, m_{ij}, u_{ij}) Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.426) Eqs.(14)-(15)
2.Adım 2 (F2): Step 2: Cost inversion then column-sum normalization. For cost criteria: invert each TFN as (1/u, 1/m, 1/l). Then for all criteria (including A_0 row): divide each TFN by the fuzzy column sum using reverse-pair division. Formül: \text{Cost inversion: }\tilde{x}'_{ij} = \left(\tfrac{1}{u_{ij}}, \tfrac{1}{m_{ij}}, \tfrac{1}{l_{ij}}\right),\; j\in\Omega_{\min};\quad \bar{x}_{ij} = \tilde{x}_{ij} \oslash \sum_{i=0}^{m}\tilde{x}_{ij} = \left(\tfrac{l_{ij}}{\sum_i u_{ij}},\; \tfrac{m_{ij}}{\sum_i m_{ij}},\; \tfrac{u_{ij}}{\sum_i l_{ij}}\right) Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.426-427) Eqs.(16)-(18)
3.Adım 3 (F3): Step 3: Weighted normalised matrix: element-wise TFN multiplication of normalised value by (TFN) criterion weight. Formül: \hat{d}_{ij} = \bar{x}_{ij} \otimes \tilde{w}_j = \left(l^{\bar{x}}_{ij}\cdot l^w_j,\; m^{\bar{x}}_{ij}\cdot m^w_j,\; u^{\bar{x}}_{ij}\cdot u^w_j\right); \quad \text{if crisp weight: }\hat{d}_{ij} = \left(w_j l^{\bar{x}}_{ij},\; w_j m^{\bar{x}}_{ij},\; w_j u^{\bar{x}}_{ij}\right) Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.427) Eq.(21)
4.Adım 4 (F4): Step 4: Optimality function S̃_i: fuzzy sum of weighted-normalised values across all criteria, for each row including A_0. Formül: \tilde{S}_i = \bigoplus_{j=1}^{n} \hat{d}_{ij} = \left(\sum_{j=1}^n l^d_{ij},\; \sum_{j=1}^n m^d_{ij},\; \sum_{j=1}^n u^d_{ij}\right), \quad i = 0, 1, \ldots, m Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.427) Eq.(22)
5.Adım 5 (F5): Step 5: Defuzzify S̃_i by centroid (l+m+u)/3, compute utility K_i = S_i/S_0, rank descending. Formül: S_i = \frac{l^S_i + m^S_i + u^S_i}{3};\quad K_i = \frac{S_i}{S_0},\quad i = 1,\ldots,m;\quad \mathrm{rank\ by\ }K_i\downarrow Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.427) Eqs.(23)-(24)

Commonly paired with

•FUZZY-AHP + FUZZY-ARAS (common)

How to cite

Turskis, Z.; Zavadskas, E. K. (2010). A new fuzzy additive ratio assessment method (ARAS-F). Case study: the analysis of fuzzy multiple criteria in order to select the logistic centers location. Transport. https://doi.org/10.3846/transport.2010.52

BibTeX RIS APA (.txt)DOI ↗

Overview

Edge cases

•FUZZY-ARAS edge case'leri: (1) Optimal alternatif A_0 hesabı için cost kriterde min işlemi TFN üzerinde α-bazlı veya centroid-bazlı yapılabilir: paper §4 α-bazlı min kullanır (her bileşen ayrı min): engine bu kanonu izler; bu monotonik olmayan TFN için tutarsızlık yaratabilir (α > β anomaliside ek kontrol gerekir). (2) Cost normalizasyonun iki-aşaması Eq.18: x̃_ij^* = (1/γ_ij, 1/β_ij, 1/α_ij) INVERT işlemi pozitif TFN gerektirir; α_ij = 0 → bölünme hatası → ε-clamp gerekir. (3) Σ_i x̃_ij = 0 (tüm alternatifler 0) → normalization tanımsız → input validation gerekir. (4) Centroid defuzz simetrik TFN için aritmetik orta verir; asimetrik TFN'de bias yaratır: kullanıcı literatürde alternatif defuzz (signed distance, graded mean integration) test etmek isterse manifest dışında implement etmelidir.

Common pitfalls

•Tipik hatalar: (a) Centroid 3-term (Eq.23 (α+β+γ)/3) ile graded mean (α+4β+γ)/6 karıştırılır: paper kanonu 3-term; (b) Optimal A_0 satırı normalizasyondan ÖNCE eklenir, normalize edilirken Σ_i (i=0..m) toplamında A_0 dahil edilir: i=1..m yaparsanız K_i ölçeği bozulur; (c) Cost kriterler için tek-aşama 1/x̃ uygulamak yetmez: Eq.18 İKİ aşamalıdır: önce invert, sonra normalize; (d) TFN ağırlık × TFN normalize değer çarpımı klasik scalar değil, Eq.10 TFN-TFN çarpımıdır (a₁a₂, β₁β₂, γ₁γ₂): bileşen-bileşen; (e) K_i her zaman [0,1] aralığında DEĞİL: paper §4 Tab.6 K_2=0.809 vb. >1 olabilir aslında değil 0.699-0.818 arasında çünkü S_0 ≥ S_i (A_0 maximizing tasarımı garantili); ama implementation bug → S_0 yanlış hesaplanırsa K_i > 1 görülebilir, uyarı gerekir.

Worked example

1.Adım 1 (F1): Step 1: Augment matrix with optimal alternative A_0 (best per criterion). For benefit criteria take TFN-max over alternatives; for cost criteria take TFN-min. Formül: \tilde{x}_{0j} = \begin{cases} \max_{i=1}^{m}\tilde{x}_{ij} & j \in \Omega_{\max} \\ \min_{i=1}^{m}\tilde{x}_{ij} & j \in \Omega_{\min} \end{cases}, \quad \tilde{x}_{ij} = (l_{ij}, m_{ij}, u_{ij}) Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.426) Eqs.(14)-(15)

2.Adım 2 (F2): Step 2: Cost inversion then column-sum normalization. For cost criteria: invert each TFN as (1/u, 1/m, 1/l). Then for all criteria (including A_0 row): divide each TFN by the fuzzy column sum using reverse-pair division. Formül: \text{Cost inversion: }\tilde{x}'_{ij} = \left(\tfrac{1}{u_{ij}}, \tfrac{1}{m_{ij}}, \tfrac{1}{l_{ij}}\right),\; j\in\Omega_{\min};\quad \bar{x}_{ij} = \tilde{x}_{ij} \oslash \sum_{i=0}^{m}\tilde{x}_{ij} = \left(\tfrac{l_{ij}}{\sum_i u_{ij}},\; \tfrac{m_{ij}}{\sum_i m_{ij}},\; \tfrac{u_{ij}}{\sum_i l_{ij}}\right) Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.426-427) Eqs.(16)-(18)

3.Adım 3 (F3): Step 3: Weighted normalised matrix: element-wise TFN multiplication of normalised value by (TFN) criterion weight. Formül: \hat{d}_{ij} = \bar{x}_{ij} \otimes \tilde{w}_j = \left(l^{\bar{x}}_{ij}\cdot l^w_j,\; m^{\bar{x}}_{ij}\cdot m^w_j,\; u^{\bar{x}}_{ij}\cdot u^w_j\right); \quad \text{if crisp weight: }\hat{d}_{ij} = \left(w_j l^{\bar{x}}_{ij},\; w_j m^{\bar{x}}_{ij},\; w_j u^{\bar{x}}_{ij}\right) Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.427) Eq.(21)

4.Adım 4 (F4): Step 4: Optimality function S̃_i: fuzzy sum of weighted-normalised values across all criteria, for each row including A_0. Formül: \tilde{S}_i = \bigoplus_{j=1}^{n} \hat{d}_{ij} = \left(\sum_{j=1}^n l^d_{ij},\; \sum_{j=1}^n m^d_{ij},\; \sum_{j=1}^n u^d_{ij}\right), \quad i = 0, 1, \ldots, m Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.427) Eq.(22)

5.Adım 5 (F5): Step 5: Defuzzify S̃_i by centroid (l+m+u)/3, compute utility K_i = S_i/S_0, rank descending. Formül: S_i = \frac{l^S_i + m^S_i + u^S_i}{3};\quad K_i = \frac{S_i}{S_0},\quad i = 1,\ldots,m;\quad \mathrm{rank\ by\ }K_i\downarrow Anchor: Turskis-Zavadskas 2010 (Transport 25:4, p.427) Eqs.(23)-(24)