Fuzzy ELECTRE II - Fuzzy extension of ELECTRE-II

Overview

fuzzy-electre-ii extends ELECTRE-II to handle Fuzzy uncertainty. All arithmetic operations (normalisation, weighting, distance computation) are performed using Triangular Fuzzy Number (TFN: l, m, u) algebra. The final scores are defuzzified via centroid (l+m+u)/3 before ranking.

Output

preference flow, higher is better

Data

Fuzzy (TFN), uncertainty tuples complete

Weights

Needs a weight source

Size

2+ alternatives, 3-10 criteria works best

Used for

Fuzzy (Triangular) MCDM, MAGDM under epistemic uncertainty, expert-driven evaluation with linguistic terms

How it works

1. 1

   Fuzzy karar matrisi X̃ = [x̃_ij]_{m×n} TFN girişlerle (l, m, u) oluştur. Multi-DM ise her uzmanın TFN'ini Chen 2000 (min(l_k), mean(m_k), max(u_k)) ile cell-bazında topla (Kannan 2009 Table 13 örnek paterni).

2. 2

   Centroid defuzz x* = (l+m+u)/3 ve w* = (l^w+m^w+u^w)/3, sonra w_j = w_j* / Σ_k w_k* normalize. NOT: Govindan 2010 paper graded mean integration (l+4m+u)/6 kullanır - fonksiyonel eşdeğer sınıf, manifest sentroidi konvansiyonel basitlik için seçer.

3. 3

   Vektör normalize benefit: r_ij = x*_ij / √(Σ_i (x*_ij)²). Cost: önce ters x^c = 1/x*, sonra aynı vektör normalizasyonu.

4. 4

   Ağırlıklı normalize v_ij = w_j · r_ij (Govindan 2010 Step 1-2 ≡ Table II output).

5. 5

   Her (A_a, A_b) çifti için C(a,b) = {j | v_aj ≥ v_bj}, D(a,b) = {j | v_aj < v_bj}.

6. 6

   Concordance indeksi c(a,b) = Σ_{j∈C(a,b)} w_j (Σw_j=1 varsayımıyla).

7. 7

   Discordance indeksi d(a,b) = max_{j∈D} |v_aj − v_bj| / max_j |v_aj − v_bj|; D boşsa d=0 (Govindan 2010 formula 6-7).

8. 8

   Roy-Bertier 1973 5-eşik (c⁻<c⁰<c⁺, d⁻<d⁺) ile karşılıklı dominans C(a,b)≥C(b,a) gereksiniminde: Strong S^s(a,b) iff C(a,b)≥C(b,a) ∧ ((c(a,b)≥c⁺ ∧ d(a,b)≤d⁺) ∨ (c(a,b)≥c⁰ ∧ d(a,b)≤d⁻)); Weak S^w(a,b) iff C(a,b)≥C(b,a) ∧ (c(a,b)≥c⁻ ∧ d(a,b)≤d⁺). Default (Hokkanen 1995 / pyDecision): 0.65/0.75/0.85/0.25/0.50.

9. 9

   Boolean R^s = 1[S^s], R^w = 1[S^w]. Johnson 1975 cycle algoritması ile basit çevrimleri equivalence class'lara çök (acyclic graf için ön-işlem).

10. 10

    İteratif distillation - combined dominance D = clip(2·R^s + R^w, 0, 2). Forward: her iterasyonda dominate edilmeyen ('column-sum=0') alternatif sınıfını çıkar, sırala. Reverse: ters yönde tekrarla. Median: forward + reverse pre-order'ı birleştir (Goicoechea-Hansen-Duckstein 1982 ref [17] in Govindan 2010 ≡ Step 5 + Table VI r'(x)/r''(x)/r*(x)).

11. 11

    Auxiliary net dominance Φ_i = Σ (2r^s_{ib}+r^w_{ib}) − Σ (2r^s_{ai}+r^w_{ai}) - informatif özet, kanonik sıralama F10 distillation sınıflarından gelir.

Fits when / Look elsewhere when

Assumptions to verify

• Thresholds (q, p, v) can be expressed in Fuzzy (Triangular) scale
• Veto + concordance semantics adapted to fuzzy arithmetic

Edge cases and pitfalls

• •Tüm alternatifler benzer puansa: discordance dominasyonu → tek indifference class (3×3 synthetic fixture'ın canonical sonucu - bug değil, paterndir)
• •Cost kriter yoksa: F3 reciprocal inversion atlanır, doğrudan vektör normalize
• •Σw_j ≠ 1 ise: F6 formülü c(a,b) = Σ_{j∈C} w_j / Σ_j w_j olarak yeniden ölçeklenir (manifest D.parameters varsayım kontrolü yapar)
• •D(a,b) = ∅ (a, b'yi tüm kriterlerde zayıflıkla geçer): d(a,b) = 0 sözleşmesi, strong outranking otomatik kabul (eşik karşılanırsa)
• •Johnson cycle: R^s veya R^w'de çevrim varsa F10 distillation iterasyonu sonsuza dönebilir - Johnson 1975 collapse ile equivalence class'lara çevrilir (pyDecision johnson_algorithm_cycles)
• •Multi-DM aggregation: Chen 2000 min(l)/mean(m)/max(u) seçimi pessimistic-balanced-optimistic spread'i korur; alternatif 'all-average' (mean of l, m, u ayrı) DM disagreement sinyalini kaybeder

• Value-space violation: ensure all entries satisfy TFN: l ≤ m ≤ u, all ≥ 0 before computation.

• Defuzzification method affects ranking: centroid (l+m+u)/3 is the canonical choice but alternatives exist.

Works with

How to cite