Ranking

Grey-EDAS: Grey extension of EDAS

Stanujkic, D., Zavadskas, E. K., Keshavarz Ghorabaee, M., Turskis, Z. · 2017

Overview

GREY-EDAS, Keshavarz Ghorabaee (2015) EDAS yönteminin (Evaluation based on Distance from Average Solution) grey interval number (GIN: ⊗x = [x̲, x̄]) ortamına Stanujkic ve arkadaşları (2017) tarafından genişletilmiş versiyonudur. EDAS'ın özgün fikri TOPSIS'ten farklı bir referansa dayanır: "en iyi alternatif aynı anda ortalama-üstü pozitif sapmalarda (PDA: Positive Distance from Average) yüksek ve ortalama-altı negatif sapmalarda (NDA) düşük olandır." Grey adaptasyonda hem kriter değerleri hem kriter ağırlıkları interval olabilir; grey-aritmetik (Liu-Lin 2006) altında PDA/NDA hesapları interval-değer döndürür ve final sıralama appraisal-score AS_i'nin gri-sayı orta-noktası (midpoint) üzerinden yapılır. Paper'ın motivasyonu, müteahhit seçimi gibi tek-değer yargılamanın güvenilmez olduğu inşaat problemlerinde uzman belirsizliğini grey-aralık ile koruma talebidir.

Strengths

•Method-specific: Grey outranking/ranking: Grey Interval Number (GIN: [x̲, x̄])
•Preserves grey uncertainty through the pipeline rather than premature crispification at elicitation
•Native group-decision support (multi-DM aggregation built into the pipeline)

Limitations

•Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
•Assumes: Decision matrix entries are valid Grey numbers/tuples
•Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
•Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Method assistant

Grounded explanations: it explains the method, it does not compute.

Assumptions to verify

•Decision matrix entries are valid Grey numbers/tuples
•Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
•All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

When not to use

•Crisp data sufficient: use base EDAS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
•Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified: output ambiguous

Edge cases

•AV_j alt-sınırı x̲ = 0 ise PDA/NDA bölme sıfır-bölme verir; engine bu durumda küçük ε=1e-9 eklenmesi yerine kriteri non-applicable işaretler ve uyarı verir (paper bu durumu açıkça ele almaz, defensive choice).
•Tüm alternatiflerin bir kriterde aynı grey değere sahip olması: AV_j eşit; PDA_ij = NDA_ij = 0; o kriter sıralamayı etkilemez. Bu, EDAS'ın 'discriminating only on deviation' doğasının doğal sonucudur.
•Grey-midpoint sıralama tie: iki AS_i'nin midpoint'i eşit ama interval-genişlikleri farklıysa engine ikincil kriter olarak daha-dar aralığı tercih eder (daha az belirsizlik varsayımı; paper'da explicit değil, mantıklı default).
•Paper §4 numerical case: A5 müteahhit AS_5 ≈ 0.615 ile birinci; A1 son. Bu reproduce edilebilir; Block J fixture'ında bu örnek anchored.

Common pitfalls

•Pitfall #1: Grey-aralık aritmetiğinde Minkowski-toplama yerine eleman-bazlı bağımsız min/max almak. ⊗a + ⊗b = [a̲+b̲, ā+b̄] DOĞRU; [min(a̲,b̲), max(ā,b̄)] YANLIŞ.
•Pitfall #2: Cost kriterleri için EDAS'ta TOPSIS'in min↔max flip'ini uygulamak. EDAS'ta cost handling Eq.22'deki AV−x işareti ile yapılır (PDA pozitif olur eğer x < AV).
•Pitfall #3: AS_i = ½(NSP + (1−NSN)) formülünde (1−NSN) yerine NSN doğrudan kullanmak. (1−NSN) tersine çevirir çünkü düşük NSN = düşük negatif sapma = iyi; ½(NSP+NSN) yanlış interpretasyon verir.
•Pitfall #4: Grey midpoint yerine alt-sınır veya üst-sınır ile sıralama. Paper midpoint kuralını benimser; alt/üst sınır karar-vericinin risk profiline göre yorumlanabilir ama bu manifest standart midpoint'i kullanır.
•Pitfall #5: Kriter ağırlıklarını crisp varsayıp matrisi grey tutmak: paper grey ağırlık vektörünü destekler; karışık (grey matris × crisp w) kullanım matematiksel olarak hatalı değildir ama paper'ın grey-uyumluluk tutarlılığını bozar.

Worked example

1.Adım 1 (F1): Step 1: Construct the grey decision matrix. Each entry ⊗x_ij = [x̲_ij, x̄_ij] is an interval grey number (Eq.19). Formül: \otimes X = (\otimes x_{ij})_{m\times n},\quad \otimes x_{ij} = [\underline{x}_{ij},\, \bar{x}_{ij}],\quad 0 \le \underline{x}_{ij} \le \bar{x}_{ij} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 1, Eq.(19); Deng 1989 grey interval number
2.Adım 2 (F2): Step 2: Compute the grey average solution ⊗x*_j = [x̲*_j, x̄*_j] per criterion as component-wise arithmetic means (Eqs.21-22). Formül: \underline{x}^*_j = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \underline{x}_{ij},\quad \bar{x}^*_j = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \bar{x}_{ij};\quad \mathring{x}^*_j = \tfrac{\underline{x}^*_j + \bar{x}^*_j}{2} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 2, Eqs.(21)-(22); whitening °x*_j = (x̲*_j + x̄*_j)/2
3.Adım 3 (F3): Step 3: Grey PDA ⊗d+_ij and grey NDA ⊗d-_ij per entry. Bounds use cross-comparisons: lower ← conservative (lower alt bound vs upper avg bound), upper ← optimistic (upper alt bound vs lower avg bound). Denominator = whitened average °x*_j. Direction-sensitive (Eqs.23-24). Formül: \otimes d^+_{ij} = \begin{cases}\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}_{ij}-\bar{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}_{ij}-\underline{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\max}\\\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}^*_j-\bar{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}^*_j-\underline{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\min}\end{cases} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 3, Eq.(23): grey PDA bounds; numerically verified against Table 3 of paper example
4.Adım 4 (F4): Step 3 (cont.): Grey NDA ⊗d-_ij (Eq.24): symmetric to PDA with negation logic: deviation below average for benefit, above average for cost. Formül: \otimes d^-_{ij} = \begin{cases}\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}^*_j-\bar{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}^*_j-\underline{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\max}\\\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}_{ij}-\bar{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}_{ij}-\underline{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\min}\end{cases} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 3, Eq.(24): grey NDA bounds; numerically verified against Table 4 of paper example
5.Adım 5 (F5): Step 4-5: Weighted grey sums ⊗Q+_i, ⊗Q-_i (Eqs.27-30); then normalize by max upper bound to get ⊗S+_i, ⊗S-_i (Eqs.31-34). Formül: \underline{Q}^+_i = \sum_j w_j\,\underline{d}^+_{ij},\quad \bar{Q}^+_i = \sum_j w_j\,\bar{d}^+_{ij}; \quad\underline{S}^+_i = \frac{\underline{Q}^+_i}{\max_k \bar{Q}^+_k},\quad \bar{S}^+_i = \frac{\bar{Q}^+_i}{\max_k \bar{Q}^+_k}; \quad\underline{S}^-_i = 1 - \frac{\bar{Q}^-_i}{\max_k \bar{Q}^-_k},\quad \bar{S}^-_i = 1 - \frac{\underline{Q}^-_i}{\max_k \bar{Q}^-_k} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 4, Eqs.(27)-(30) + Step 5, Eqs.(31)-(34); verified against Table 5
6.Adım 6 (F6): Steps 6-7: Appraisal score S_i as equal-weight average of all 4 grey bounds (Eq.35); rank by S_i descending. Paper ranking: A5 > A2 > A1 > A4 > A3 (S: 0.615, 0.480, 0.449, 0.438, 0.436). Formül: S_i = \tfrac{1}{4}(\underline{S}^+_i + \bar{S}^+_i + \underline{S}^-_i + \bar{S}^-_i),\quad 0 \le S_i \le 1;\quad \text{rank by } S_i \downarrow Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Steps 6-7, Eq.(35); paper ranking: A5>A2>A1>A4>A3 (S=0.615,0.480,0.449,0.438,0.436)

Commonly paired with

•n_a + GREY-EDAS (common)

How to cite

Stanujkic, D.; Zavadskas, E. K.; Keshavarz Ghorabaee, M.; Turskis, Z. (2017). An Extension of the EDAS Method Based on the Use of Interval Grey Numbers. Studies in Informatics and Control. https://doi.org/10.24846/v26i1y201701

BibTeX RIS APA (.txt)DOI ↗

Overview

Limitations

•Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)

•Assumes: Decision matrix entries are valid Grey numbers/tuples

•Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space

•Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Edge cases

•AV_j alt-sınırı x̲ = 0 ise PDA/NDA bölme sıfır-bölme verir; engine bu durumda küçük ε=1e-9 eklenmesi yerine kriteri non-applicable işaretler ve uyarı verir (paper bu durumu açıkça ele almaz, defensive choice).

•Tüm alternatiflerin bir kriterde aynı grey değere sahip olması: AV_j eşit; PDA_ij = NDA_ij = 0; o kriter sıralamayı etkilemez. Bu, EDAS'ın 'discriminating only on deviation' doğasının doğal sonucudur.

•Grey-midpoint sıralama tie: iki AS_i'nin midpoint'i eşit ama interval-genişlikleri farklıysa engine ikincil kriter olarak daha-dar aralığı tercih eder (daha az belirsizlik varsayımı; paper'da explicit değil, mantıklı default).

•Paper §4 numerical case: A5 müteahhit AS_5 ≈ 0.615 ile birinci; A1 son. Bu reproduce edilebilir; Block J fixture'ında bu örnek anchored.

Common pitfalls

•Pitfall #1: Grey-aralık aritmetiğinde Minkowski-toplama yerine eleman-bazlı bağımsız min/max almak. ⊗a + ⊗b = [a̲+b̲, ā+b̄] DOĞRU; [min(a̲,b̲), max(ā,b̄)] YANLIŞ.

•Pitfall #2: Cost kriterleri için EDAS'ta TOPSIS'in min↔max flip'ini uygulamak. EDAS'ta cost handling Eq.22'deki AV−x işareti ile yapılır (PDA pozitif olur eğer x < AV).

•Pitfall #3: AS_i = ½(NSP + (1−NSN)) formülünde (1−NSN) yerine NSN doğrudan kullanmak. (1−NSN) tersine çevirir çünkü düşük NSN = düşük negatif sapma = iyi; ½(NSP+NSN) yanlış interpretasyon verir.

•Pitfall #4: Grey midpoint yerine alt-sınır veya üst-sınır ile sıralama. Paper midpoint kuralını benimser; alt/üst sınır karar-vericinin risk profiline göre yorumlanabilir ama bu manifest standart midpoint'i kullanır.

•Pitfall #5: Kriter ağırlıklarını crisp varsayıp matrisi grey tutmak: paper grey ağırlık vektörünü destekler; karışık (grey matris × crisp w) kullanım matematiksel olarak hatalı değildir ama paper'ın grey-uyumluluk tutarlılığını bozar.

Worked example

1.Adım 1 (F1): Step 1: Construct the grey decision matrix. Each entry ⊗x_ij = [x̲_ij, x̄_ij] is an interval grey number (Eq.19). Formül: \otimes X = (\otimes x_{ij})_{m\times n},\quad \otimes x_{ij} = [\underline{x}_{ij},\, \bar{x}_{ij}],\quad 0 \le \underline{x}_{ij} \le \bar{x}_{ij} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 1, Eq.(19); Deng 1989 grey interval number

2.Adım 2 (F2): Step 2: Compute the grey average solution ⊗x*_j = [x̲*_j, x̄*_j] per criterion as component-wise arithmetic means (Eqs.21-22). Formül: \underline{x}^*_j = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \underline{x}_{ij},\quad \bar{x}^*_j = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \bar{x}_{ij};\quad \mathring{x}^*_j = \tfrac{\underline{x}^*_j + \bar{x}^*_j}{2} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 2, Eqs.(21)-(22); whitening °x*_j = (x̲*_j + x̄*_j)/2

3.Adım 3 (F3): Step 3: Grey PDA ⊗d+_ij and grey NDA ⊗d-_ij per entry. Bounds use cross-comparisons: lower ← conservative (lower alt bound vs upper avg bound), upper ← optimistic (upper alt bound vs lower avg bound). Denominator = whitened average °x*_j. Direction-sensitive (Eqs.23-24). Formül: \otimes d^+_{ij} = \begin{cases}\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}_{ij}-\bar{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}_{ij}-\underline{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\max}\\\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}^*_j-\bar{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}^*_j-\underline{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\min}\end{cases} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 3, Eq.(23): grey PDA bounds; numerically verified against Table 3 of paper example

4.Adım 4 (F4): Step 3 (cont.): Grey NDA ⊗d-_ij (Eq.24): symmetric to PDA with negation logic: deviation below average for benefit, above average for cost. Formül: \otimes d^-_{ij} = \begin{cases}\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}^*_j-\bar{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}^*_j-\underline{x}_{ij})}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\max}\\\left[\frac{\max(0,\,\underline{x}_{ij}-\bar{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j},\;\frac{\max(0,\,\bar{x}_{ij}-\underline{x}^*_j)}{\mathring{x}^*_j}\right] & j\in\Omega_{\min}\end{cases} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 3, Eq.(24): grey NDA bounds; numerically verified against Table 4 of paper example

5.Adım 5 (F5): Step 4-5: Weighted grey sums ⊗Q+_i, ⊗Q-_i (Eqs.27-30); then normalize by max upper bound to get ⊗S+_i, ⊗S-_i (Eqs.31-34). Formül: \underline{Q}^+_i = \sum_j w_j\,\underline{d}^+_{ij},\quad \bar{Q}^+_i = \sum_j w_j\,\bar{d}^+_{ij}; \quad\underline{S}^+_i = \frac{\underline{Q}^+_i}{\max_k \bar{Q}^+_k},\quad \bar{S}^+_i = \frac{\bar{Q}^+_i}{\max_k \bar{Q}^+_k}; \quad\underline{S}^-_i = 1 - \frac{\bar{Q}^-_i}{\max_k \bar{Q}^-_k},\quad \bar{S}^-_i = 1 - \frac{\underline{Q}^-_i}{\max_k \bar{Q}^-_k} Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Step 4, Eqs.(27)-(30) + Step 5, Eqs.(31)-(34); verified against Table 5

6.Adım 6 (F6): Steps 6-7: Appraisal score S_i as equal-weight average of all 4 grey bounds (Eq.35); rank by S_i descending. Paper ranking: A5 > A2 > A1 > A4 > A3 (S: 0.615, 0.480, 0.449, 0.438, 0.436). Formül: S_i = \tfrac{1}{4}(\underline{S}^+_i + \bar{S}^+_i + \underline{S}^-_i + \bar{S}^-_i),\quad 0 \le S_i \le 1;\quad \text{rank by } S_i \downarrow Anchor: Stanujkic-Zavadskas-KeshavarzGhorabaee-Turskis 2017 (SIC Vol.26 No.1) Steps 6-7, Eq.(35); paper ranking: A5>A2>A1>A4>A3 (S=0.615,0.480,0.449,0.438,0.436)