HF-ARAS: Hesitant Fuzzy Additive Ratio Assessment

Overview

HF-ARAS, Zavadskas-Turskis (2010) Additive Ratio Assessment yönteminin hesitant fuzzy ortamda Mishra ve arkadaşları (2021) tarafından yeniden örgütlenmiş hâlidir. Klasik ARAS'ın merkez fikri: "her alternatifin toplam optimallik fonksiyonunu hipotetik en-iyi alternatifinkine oran (utility-degree K_i = S_i/S_0) ile ifade etmek": burada HFE skorlarıyla işlenir. Yöntemin paper-spesifik katkısı iki yerdedir: (i) HFE'ler arası yakınlığı ölçmek için Hung-Yang (2008) divergence çatısından türetilmiş yeni D_1(U,V) fonksiyonu (Eq.4, Teoremler 1-3 ile postulat-uyumluluğu kanıtlanmış); (ii) hem nesnel ağırlıkların D_1 üzerinden divergence-tabanlı çıkarımı hem subjektif uzman ağırlıklarıyla kombinasyonu (Eqs.13-14). Output, K_i ∈ [0,1] aralığında utility skorlarıdır; en yüksek K_i, ARAS standardınca en iyi alternatif.

Strengths

• •Method-specific: Hesitant fuzzy utility-degree ranker (P_i / P_0 against ideal alternative row)
• •Preserves hesitant uncertainty through the pipeline rather than premature crispification at elicitation

Limitations

• •Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp ARAS (Zavadskas-Turskis 2010); the ideal row M_0 is computed from the current alternative set (column-wise max for benefit, min for cost), so adding or removing an alternative may shift M_0 and re-normalise all U_i values, potentially flipping ranks. Linear normalisation h̄_ij = h_ij / max_i S(h_ij) further amplifies this: denominator depends on the full alternative set.)

Edge cases

• •Optimal satır x_0j extraction (Eq.15): max_i h_ij komponent-wise alındığında, l(h_ij) farklı kolonlarda farklı olabilir → length-equalization Adım 2'de HFWA içinde otomatik yapılır (Xia-Xu 2011 §3.1 konvansiyonu); paper bunu örtük varsayar.
• •α=0 (saf nesnel) veya α=1 (saf subjektif) uç durumlarda K_i hâlâ iyi tanımlıdır ama paper §5.3 her iki uçta da farklı kazanan gösterebileceğini kanıtlar (Remdesivir vs Favipiravir swap'ı).
• •S_0 = 0 durumu: hipotetik optimum satırı tüm-sıfır olamaz çünkü x_0j = max_i h_ij ve en az bir HFE pozitif değer içerir (boş HFE Torra 2010'da tanımlı değil). Pratik kullanımda engine boş-HFE girişi reddeder.
• •Cost normalizasyonu Eq.(1)'in HFE kompleman (1-γ) yorumu Xia-Xu 2011 §2.2'ye dayanır; alternatif konvansiyon (max/min flip) ARAS'ta kullanılmaz.

Common pitfalls

• •Pitfall #1: Cost normalizasyonu için PIS/NIS flip kullanmak. HF-ARAS'ta cost handling Eq.(1) tipi HFE komplemantasyonudur (1-γ); bu, paper §3 Adım 3'te netleştirilmiştir.
• •Pitfall #2: α subjektif/nesnel karışım katsayısını veri-bağımsız sabit alıp duyarlılık analizi yapmamak. Paper §5.3 α'nın sıralamayı etkileyebileceğini gösterir: tek bir α=0.5 çalıştırması yeterli kanıt değildir, raporda α∈{0,0.25,0.5,0.75,1} taraması önerilir.
• •Pitfall #3: D_1 divergence yerine sıradan d_1 Öklid uzaklığını kullanmak. D_1 (Eq.4) Kullback-Leibler-benzeri asimetrik bir ölçüdür ve Teorem 2'de symmetric'leştirme adımı (divergence kombinasyonu) gerekir; sadece d_1 ile w_j^o hesaplamak paper'ın matematiğini değiştirir.
• •Pitfall #4: Uzman ağırlıkları λ_k'nın Σλ_k=1 normalizasyonunu Adım 1'de unutmak. HFWA operatörü ağırlıklı geometrik form içerir; normalize olmayan λ_k matematiksel olarak garip skor üretir.
• •Pitfall #5: Utility-degree K_i'yi closeness coefficient C_i (TOPSIS) ile karıştırmak. K_i = S_i/S_0 ORAN'dır (optimal satıra göre); C_i ise pozitif-ideale uzaklığın toplam uzaklıktaki PAYI'dır. Yorumları farklıdır; akademik thesis'te karıştırılırsa metodoloji doğru anlatılmamış olur.

Worked example

1. 1.Adım 1 (F1): Step 1: Construct HF decision matrix H = (h_ij)_{m×n}, where each h_ij is an HFE supplied by the decision-maker (or pre-aggregated from multi-DE input via HFWA Eq.(8)). Entries may be of varying cardinality. Formül: H = (h_ij)_{m×n}, h_ij ⊆ [0,1], |h_ij| ≥ 1. Anchor: Mishra 2021, Step 1 (Section 4); Eq.(8) HFWA for optional multi-DE aggregation.
2. 2.Adım 2 (F2): Step 2: Construct optimal performance row M_0 = (h_0j)_{j=1..n}, where h_0j is the column-wise best HFE: max over alternatives by score S(·) for benefit criteria (j ∈ S_b), min for cost criteria (j ∈ S_n). M_0 is appended as a virtual zeroth alternative. Formül: h_0j = argmax_i S(h_ij) if j ∈ S_b (benefit); h_0j = argmin_i S(h_ij) if j ∈ S_n (cost). Augmented matrix: H̃ = (h_ij)_{(m+1)×n}, i ∈ {0, 1, ..., m}. (Mishra 2021 Eq.(18)) Anchor: Mishra 2021, Step 5 (numbered Step 5 in paper despite being Step 2 of ARAS core), Eq.(18); Zavadskas-Turskis 2010 ideal-alternative construct.
3. 3.Adım 3 (F3): Step 3: Linear-normalise the augmented matrix column-wise via Eq.(19). For benefit: divide each entry by the column's maximum score. For cost: take 1 minus that ratio (complement form). Formül: For j ∈ S_b: h̄_ij = h_ij / max_i S(h_ij) = { ξ / max_i S(h_ij) : ξ ∈ h_ij }. For j ∈ S_n: h̄_ij = 1 − h_ij / max_i S(h_ij) = { 1 − ξ / max_i S(h_ij) : ξ ∈ h_ij }. max_i taken over augmented matrix i ∈ {0, 1, ..., m}. (Mishra 2021 Eq.(19)) Anchor: Mishra 2021, Step 6 / Eq.(19); Zavadskas-Turskis 2010 linear normalisation lifted to HFE entry-wise scalar division/complement.
4. 4.Adım 4 (F4): Step 4: Apply criterion weights via entry-wise HFE scalar power (Xia-Xu 2011 scalar multiplication on HFE): h̃_ij = w_j ⊗ h̄_ij = { 1 − (1 − ξ̄)^{w_j} : ξ̄ ∈ h̄_ij }. Each entry of the normalised matrix is raised to the weight as scalar exponent. Formül: h̃_ij = w_j ⊗ h̄_ij = { 1 − (1 − ξ̄)^{w_j} : ξ̄ ∈ h̄_ij }, i = 0..m, j = 1..n. Σ_j w_j = 1, w_j ≥ 0. (Mishra 2021 Eq.(20), entry-wise interpretation; the printed Π_{j=1}^n in Eq.20 is a typographical conflation with the aggregation form: entry-wise reading reconciles with Step 8/Table 7 which require m×n weighted matrix; see P.verification_status.) Anchor: Mishra 2021, Step 7 / Eq.(20); Xia-Xu 2011 scalar power on HFE.
5. 5.Adım 5 (F5): Step 5: Defuzzify each weighted HFE to a crisp score via arithmetic mean: S(h̃_ij) = (1/g_{h̃_ij}) Σ_{ξ̃ ∈ h̃_ij} ξ̃. Produces an (m+1)×n scalar matrix of weighted normalised scores. Formül: S(h̃_ij) = (1/g_{h̃_ij}) · Σ_{ξ̃ ∈ h̃_ij} ξ̃. (Mishra 2021 Eq.(21); identical to Xia-Xu 2011 score function and Eq.(1).) Anchor: Mishra 2021, Step 8 / Eq.(21); Xia-Xu 2011 score function.
6. 6.Adım 6 (F6): Step 6: Compute overall performance rating P_i = Σ_{j=1}^n S(h̃_ij) for each alternative (including ideal row P_0). Then compute utility degree U_i = P_i / P_0 (relative to ideal optimum). Formül: P_i = Σ_{j=1}^n S(h̃_ij), i = 0, 1, ..., m. U_i = P_i / P_0, i = 1, ..., m; U_i ∈ [0, 1]. (Mishra 2021 Eqs.(22)-(23)) Anchor: Mishra 2021, Step 9 / Eqs.(22)-(23); Zavadskas-Turskis 2010 utility-degree formula K_i = S_i / S_0.
7. 7.Adım 7 (F7): Step 7: Rank alternatives in DESCENDING order of U_i (largest is best). M* = arg max_i U_i. Formül: A_i ≻ A_{i'} ⟺ U_i > U_{i'}; M* = arg max_i U_i. (Mishra 2021 Eq.(24)) Anchor: Mishra 2021, Step 10 / Eq.(24); Zavadskas-Turskis 2010 ranking.

How to cite