HF-COPRAS: Hesitant Fuzzy Complex Proportional Assessment

Overview

HF-COPRAS, Zavadskas-Kaklauskas (1996) COPRAS (COmplex PRoportional ASsessment) yönteminin hesitant fuzzy ortama Mishra-Rani-Pardasani (2018) tarafından Shapley fuzzy measure entegrasyonu ile genişletilmiş halidir. COPRAS'ın klasik fikri: "her alternatifi benefit kriterlerinin ağırlıklı toplamı S_+ ve cost kriterlerinin ağırlıklı toplamı S_− olarak iki ayrı bileşene böl; sıralama, Q_i = S_+ + (S_−^min · Σ(1/S_−))/(S_− · Σ(S_−^min/S_−)) gibi orantısal-fayda formülü üzerinden yap." Paper'ın spesifik katkıları üç katmanlı: (i) HFE'ler için yeni entropi e_1(M) (Eq.1, Teorem 1 ile non-prob entropi özelliklerini sağladığı kanıtlanmış); (ii) Jensen-Shannon divergence tabanlı yakınlık ölçüsü J(M,N) (Eq.7), kriter ağırlığı çıkarımı için; (iii) kriterler arası etkileşimi modellemek üzere Shapley fuzzy measure (Marichal 2000 tipi) ile w_j^S Shapley değer ağırlıkları. Ranking nihai N_i (utility-degree) üzerinden.

Strengths

• •Method-specific: Hesitant fuzzy benefit/cost proportional ranking
• •Preserves hesitant uncertainty through the pipeline rather than premature crispification at elicitation

Limitations

• •Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp COPRAS (Zavadskas et al. 1994); HF aggregation does not eliminate rank-reversal under alternative addition/removal.)

Edge cases

• •Cost kriteri yok (S_− = ∅): COPRAS Q_i = S_+i'ye düşer; bu durumda yöntem etkin olarak saf benefit toplamı sıralamasıdır, COPRAS'ın orantısal-fayda zenginliği kaybolur. Paper implicit varsayım: en az 1 cost kriteri var.
• •Shapley measure additive (μ(A∪B) = μ(A)+μ(B)) ise w_j^S klasik weighted-sum ağırlıklarına indirgenir; non-additive supermodular μ ile kriter sinerjisi modellenir (paper §3.4 örneği).
• •Entropi e_1(M) = 0 dejenere durumu: HFE crisp tek bir değer içeriyorsa entropi sıfır → kriter "tam belirli" sayılır → nesnel ağırlığı (1−e_1)/Σ paydasından yüksek pay alır. Yorumlama: belirsizliği düşük kriter daha çok ayırt eder (paper'ın motivasyonu).
• •Vehicle insurance case (paper §4): 4 şirket × 4 kriter, sonuç A_3 N_3=100% birinci. Bu reproduce edilebilir; Block J fixture'a anchored.
• •S_− = 0 dejenere (bir alternatif tüm cost kriterlerde 0): Q_i hesabında bölme tanımsız → engine bu alternatifi 'ideal-no-cost' işaretler ve kriterler arası dengeyi raporlar.

Common pitfalls

• •Pitfall #1: Shapley fuzzy measure'ü Banzhaf power index ile karıştırmak. Shapley (simetrik, efficient) ve Banzhaf (non-efficient) farklı paylaşım aksiyomlarını sağlar; paper Marichal 2000 Shapley tanımını kullanır.
• •Pitfall #2: Entropi e_1 hesabını klasik Shannon −Σp·log(p) formülü ile yapmak. Paper Eq.(1) non-probabilistic De Luca-Termini tipi entropidir (HFE üzerinde özel form); Shannon tabanlı uyarlama farklı sonuç verir.
• •Pitfall #3: Q_i formülünde S_− işaretini hatalı koymak. COPRAS Eq.(15) Q_i = S_+i + (min S_− · Σ(1/S_−k))/(S_−i · Σ(min S_−/S_−k)): bu Zavadskas-Kaklauskas 1996 orijinal formudur; (1−S_−i) tarzı basitleştirmeler yanlıştır.
• •Pitfall #4: Shapley value'yu fuzzy measure tanımlamadan kullanmak. μ: 2^N → [0,1] monoton, μ(∅)=0, μ(N)=1 koşulları sağlanmalı; rastgele w_j vermek Shapley'i çağırma anlamı taşımaz, basit weighted-sum'a iner.
• •Pitfall #5: JS-divergence (Eq.7) yerine basit KL-divergence kullanmak. KL asimetriktir (KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)); paper symmetric JS-divergence'ı bilinçli seçer çünkü kriter ağırlığı tahmininde yön bağımsız bir yakınlık ölçüsü gerekir.

Worked example

1. 1.Adım 1 (F1): Step 1: Construct HF decision matrix Z = (z_ij)_{m×n}. Each z_ij is an HFE provided by DE(s). If group mode, perform Step F1b (HFWA aggregation). Formül: Z = (z_ij), z_ij ⊆ [0,1], |z_ij| ≥ 1. Anchor: Mishra 2018, Step 1; Rani 2020, Step 1 (Z=(z_ij^(k)) per-DE); Peng 2017, Algorithm 3 Step 1.
2. 2.Adım 2 (F2): Step 1b (group mode only): Aggregate per-DE matrices into a single Z via HFWA with DE weights ϖ_k. Formül: z_ij = HFWA(z^1_ij,...,z^ℓ_ij) = ∪_{γ^k} { 1 - ∏_{k=1}^ℓ (1-γ^k)^{ϖ_k} } (Xia-Xu 2011; Rani 2020 Eq.8 ξ_ij) Anchor: Xia & Xu 2011 HFWA operator; Rani 2020 Eq.(8) ξ_ij with DE weights λ_k = (1-e(h_k))/Σ(1-e(h_k)) Eq.(7).
3. 3.Adım 3 (F3): Step 2: Compute benefit aggregate α_i for each alternative via weighted HFE addition over benefit criteria Δ = {j : C_j is benefit}. Formül: α_i = ⊕_{j ∈ Δ} w_j · z_ij = ∪_{γ_j ∈ z_ij} { 1 - ∏_{j ∈ Δ} (1-γ_j)^{w_j} } (Mishra Eq.12; Rani Eq.12 σ_i; Peng Eq.19 P_i) Anchor: Mishra 2018, Eq.(12); Rani 2020, Eq.(12) benefit aggregate σ_i; Peng 2017, Eq.(19) P_i.
4. 4.Adım 4 (F4): Step 3: Compute cost aggregate β_i via weighted HFE addition over cost criteria V = {j : C_j is cost}. Formül: β_i = ⊕_{j ∈ V} w_j · z_ij = ∪_{γ_j ∈ z_ij} { 1 - ∏_{j ∈ V} (1-γ_j)^{w_j} } (Mishra Eq.13; Rani Eq.13 v_i; Peng Eq.20 R_i) Anchor: Mishra 2018, Eq.(13); Rani 2020, Eq.(13) cost aggregate v_i; Peng 2017, Eq.(20) R_i.
5. 5.Adım 5 (F5): Step 4: Compute HF score values S(α_i) and S(β_i) using Xia-Xu 2011 score function. Formül: S(h) = (1/|h|) Σ_{γ ∈ h} γ. (Xia-Xu 2011 Def. 3 / Mishra Eq.6 / Rani Eq.6 / Peng Eq.1) Anchor: Xia & Xu 2011, Def. 3; Mishra 2018 Def. 3; Rani 2020 Def./Eq.(6); Peng 2017 Eq.(1).
6. 6.Adım 6 (F6): Step 5: Compute relative significance λ_i via COPRAS proportional combination. Formül: λ_i = S(α_i) + [ Σ_{k=1}^m S(β_k) ] / [ S(β_i) · Σ_{k=1}^m (1/S(β_k)) ] (Mishra Eq.15; reduces to classical Zavadskas COPRAS form). Rani 2020 Eq.(15) γ-strategy variant: θ_i = γ·S(σ_i) + (1-γ)·[ΣS(v_k)]/[S(v_i)·Σ(1/S(v_k))], γ∈[0,1]; γ=0 recovers cost-side-only ranking, γ=0.5 default mixes benefit and cost components, γ=1 collapses to benefit-only S(σ_i). Anchor: Mishra 2018, Eq.(14)-(15); Rani 2020, Eq.(14)-(15) γ-strategy form; Zavadskas 1994 crisp form.
7. 7.Adım 7 (F7): Step 6: Rank alternatives in DESCENDING order of λ_i (largest is best). Formül: A_i ≻ A_{i'} ⟺ λ_i > λ_{i'}; D* = arg max_i λ_i. (Mishra Eq.16; Rani Eq.16; Peng Algorithm 3 Step 7) Anchor: Mishra 2018, Step 6 Eq.(16); Rani 2020, Step 8 Eq.(16); Peng 2017, Algorithm 3 Step 7.
8. 8.Adım 8 (F8): Step 7: Compute utility degree η_i = (λ_i / λ_max) × 100%, reported as relative attractiveness 0-100%. Formül: η_i = (λ_i / max_k λ_k) × 100%. (Mishra Eq.17; Rani Eq.17; Peng Eq.22) Anchor: Mishra 2018, Eq.(17); Rani 2020, Eq.(17); Peng 2017, Eq.(22).

How to cite