HF-MOORA: Hesitant Fuzzy Multi-Objective Optimization by Ratio Analysis

Overview

HF-MOORA, Brauers-Zavadskas (2006) MOORA (Multi-Objective Optimization on Ratio Analysis) yönteminin Z.-H. Li (2014, J.Appl.Math.) tarafından hesitant fuzzy ortama uyarlanmış halidir; paper'ın asıl katkısı HF-MULTIMOORA (3 alt-yöntem: Ratio System + Reference Point + Full Multiplicative) olup HF-MOORA manifesti bu çatının ilk iki alt-yöntemini taşır. Li'nin ÖZGÜN katkısı NOVEL score function s(h) = PA(h) (Power Average) Def.16 ve NOVEL distance d(h_1,h_2) = |PA(h_1) - PA(h_2)| Def.18'dir; bu eski score s(h) = (Σγ)/δ(h) ve eski hesitant normalized Hamming distance'a göre 'unduly large/small deviation'ları AZALTIR (paper'da Example 19: eski H-distance=0.15, yeni d=0.0019: tek outlier farkı dominate etmez). PA aggregation'ın sezgisi: birbirine 'yakın' HFE elemanları birbirini DESTEKLER (support); uzak elemanlar düşük ağırlık alır. MOORA'nın özü ise normalizasyon-bağımsız oran sistemi: r_i = s(⊕_{j∈N_B} r_ij) - s(⊕_{j∈N_C} r_ij) (benefit eklenir, cost çıkarılır; standart MCDM normalizasyonuna gerek yok çünkü HFE-native değerler [0,1] sıkıdır).

Strengths

• •Method-specific: Hesitant fuzzy ratio system ranker (benefit-vs-non-beneficial net score on vector-normalised defuzzified matrix)
• •Preserves hesitant uncertainty through the pipeline rather than premature crispification at elicitation

Limitations

• •Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp MOORA (Brauers-Zavadskas 2006); vector normalisation makes ratio system sensitive to alternative addition/removal: y_i depends on column-wise square sum so adding/removing alternatives perturbs the denominator and may flip ranks.)

Edge cases

• •HF-MOORA için kritik edge case'ler: (1) Tek outlier HFE: eski Hamming distance outlier'ı yansıtır (örn h_1={0.8, 0.6, 0.3, 0.2} vs h_2={0.9, 0.4, 0.1}: H=0.15); novel d=|PA(h_1)-PA(h_2)|=0.0019 nedeniyle outlier influence minimize olur. (2) T(h_i) hesabı için d(h_i, h_j) gerekir: circular dependency yok çünkü sup=1-d tüm DM-çiftleri için önceden hesaplanır. (3) Paper Yager support function: sup(a,b) = 0.5(1 - |a-b|) crisp için; HF için sup(h_i,h_j) = 1 - d(h_i,h_j) (Def.18 ile consistent). (4) Cost kriter için N_C: r_i'de doğrudan ÇIKARILIR (Eq.23), TOPSIS gibi cost-flip normalization YAPILMAZ: bu MOORA felsefesinin temel ayrımı. (5) MORV cost kriter: φ_j = min_i r_ij (kabul edilebilir 'en kötü-tolere' yerine 'en iyi-cost' = minimum).

Common pitfalls

• •Doktora öğrencisi tuzakları: (a) HF-MOORA ile HF-MULTIMOORA'yı özdeşleştirmek: manifestin scope'u 2 alt-yöntem; tam MULTIMOORA = +Full Multiplicative + Dominance theory aggregation; (b) Eski hesitant Hamming distance'ı Def.18 ile karıştırmak: eski formül d_hnHd = (1/δ)Σ|h_1^σ(i) - h_2^σ(i)| sıralanmış elemanlara dayanır; yeni d = |PA(h_1)-PA(h_2)| tek-skalar farka dayanır; (c) Brauers'in MOORA'da vector normalization (x*_ij = x_ij / sqrt(Σ x_ij²) Eq.18) kullanır, ama HF varyantta NORMALIZE YOK: bu MOORA varyant farkı; (d) Power Average ile Weighted Average özdeş sanmak: PA'da ağırlıklar (1+T(a_i))/Σ(1+T) FORM'undadır ve VERİYE BAĞLI hesaplanır (içsel ağırlık, exogenous değil); (e) Dominance theory: 3 sıralama (Ratio, Reference, Multiplicative) çelişirse Brauers 2010 'majority rule' kanonik: ama HF-MOORA scope dışı, paper'ın §5.2'sinde Dominance theory yalnız MULTIMOORA için uygulanır.

Worked example

1. 1.Adım 1 (F1): Step 1: Construct HF decision matrix H = (h_ij)_{m×n}, where each h_ij is an HFE supplied by the decision-maker; entries may be of varying cardinality. Formül: H = (h_ij)_{m×n}, h_ij ⊆ [0,1], |h_ij| ≥ 1. Anchor: Li 2014, Algorithm 20 Step 1; Narayanamoorthy 2020, Section 5.2 Step 1.
2. 2.Adım 2 (F2): Step 2: Defuzzify each HFE to a crisp score via the chosen score operator. Canonical default: arithmetic mean S(h_ij) = (1/|h_ij|) · Σ_{γ ∈ h_ij} γ (Narayanamoorthy 2020 Eq.1, Xia-Xu 2011). Variant: HFPA s(h) = PA(h) (Li 2014 Eq.15). Formül: S(h_ij) = (1/|h_ij|) · Σ_{γ ∈ h_ij} γ (arithmetic mean, canonical default). Variant: s(h_ij) = PA(h_ij) (HFPA, Li 2014 Eq.9). Anchor: Narayanamoorthy 2020, Eq.(1); Li 2014, Eq.(15); Xia-Xu 2011 score function.
3. 3.Adım 3 (F3): Step 3: Vector-normalise the defuzzified score matrix column-wise: r*_ij = S(h_ij) / √( Σ_{k=1}^m S(h_kj)² ). Formül: r*_ij = S(h_ij) / √( Σ_{k=1}^m S(h_kj)² ); ∀ j: Σ_i (r*_ij)² = 1. (Brauers-Zavadskas 2006 normalisation lifted to HFE-defuzzified scores per Narayanamoorthy 2020 Eq.5.) Anchor: Narayanamoorthy 2020, Eq.(5); Brauers-Zavadskas 2006 Eq.(2).
4. 4.Adım 4 (F4): Step 4: Apply criterion weights: T_ij = w_j · r*_ij. Formül: T_ij = w_j · r*_ij, i=1..m, j=1..n, Σ_j w_j = 1. Anchor: Narayanamoorthy 2020, Step 4 / Eq.(24); Brauers-Zavadskas 2006 Eq.(3).
5. 5.Adım 5 (F5): Step 5: Ratio system: y_i = Σ_{j ∈ B} T_ij − Σ_{j ∈ NB} T_ij, where B = {benefit criteria}, NB = {non-beneficial criteria}. Formül: y_i = Σ_{j: dir_j=max} w_j · r*_ij − Σ_{j: dir_j=min} w_j · r*_ij, i = 1..m. (Narayanamoorthy 2020 Eq.6: normalised values used for both benefit and non-beneficial sums; resolves the paper's typographical X_ij vs X*_ij asymmetry per their own numerical example.) Equivalent to Li 2014 Eq.(23) r_i = s(⊕_{j ∈ B} r_ij) − s(⊕_{j ∈ NB} r_ij) for singleton HFEs. Anchor: Narayanamoorthy 2020, Eq.(6); Li 2014, Eq.(23); Brauers-Zavadskas 2006 Eq.(4).
6. 6.Adım 6 (F6): Step 6: Rank alternatives in DESCENDING order of y_i (largest is best). Formül: A_i ≻ A_{i'} ⟺ y_i > y_{i'}; D* = arg max_i y_i. Anchor: Narayanamoorthy 2020, Step 6; Li 2014, Algorithm 20 Step 5.

How to cite