Ranking

HFL-MABAC: Hesitant Fuzzy Linguistic Projection-Based MABAC with Bonferroni Mean (Sun et al. 2018)

Sun, R., Hu, J., Zhou, J., Chen, X. · 2018

Overview

HFL-MABAC, Pamučar-Ćirović (2015) MABAC (Multi-Attributive Border Approximation area Comparison) yönteminin hesitant fuzzy linguistic term set (HFLTS: bir LTS S={s_0,...,s_τ} üzerinde alt-sembol kümesi) ortamına Sun ve arkadaşları (2018) tarafından taşınmış halidir. MABAC'ın çekirdek fikri klasik TOPSIS/EDAS'tan farklıdır: her kriterin geometrik ortalama-tabanlı border approximation area (BAA) G_j hesaplanır; her alternatif hücresi BAA'dan ne kadar saptığına (+/-) göre puanlanır; toplam pozitif sapma yüksek olan alternatif kazanır. Paper'ın iki spesifik katkısı: (i) HFLE'ler için cosine + projection tabanlı yeni 'projection-based difference' ölçüsü (klasik mesafe yerine yön-bilgisi korunur, Eqs.11-13); (ii) kriter agregasyonunda Bonferroni Mean (BM) operatörünün p,q parametreli kullanımı, kriterler arası içsel ilişkiyi modellemek için.

Strengths

•Method-specific: Hesitant fuzzy linguistic ranking: HFLTS subscript-symmetric LTS + projection-based signed difference + Bonferroni Mean criterion aggregation
•Preserves hesitant_fuzzy_linguistic uncertainty through the pipeline rather than premature crispification at elicitation

Limitations

•Rank reversal known on alternative-set changes (ref: Inherited from crisp MABAC (Pamucar-Cirovic 2015 ESWA); rank reversal under alternative addition/removal is possible due to BAA recomputation across alternatives.)

Method assistant

Grounded explanations: it explains the method, it does not compute.

Edge cases

•BAA G_j hesabında bazı ν_ij sıfır-üye HFLE ise geometrik ortalama 0'a düşer: paper §3.2'de açıkça "HFLE'ler boş olmayacak" varsayımı yapar; engine boş HFLE girişini reddeder.
•Projection paydası ‖G_j‖² → 0 dejenere: bu yalnız BAA'nın tüm bileşenleri sıfırsa olur (yani tüm alternatifler o kriterde s_0); engine kriteri non-discriminating işaretler ve skora katmaz.
•BM parametreleri p,q ≠ 1 alternatif: paper p=q=1 default kullanır ama p=q=2 (quadratic) veya p=1,q=2 (asymmetric) seçimleri kriter-içi etkileşimi farklı modellenir; bunu değiştirmek hospital case ranking'inde 2.-3. sıralarda swap üretebilir (paper §5.4).
•Cost normalizasyon Def.5'in neg(h_S) = {s_τ−α : s_α ∈ h_S} tanımı LTS'in 2τ+1 sembollü (simetrik 0-merkezli değil, 0..τ aralıklı) bir varyantı varsayar: kullanıcı asimetrik LTS girerse normalizasyon doğru çalışmaz.

Common pitfalls

•Pitfall #1: HFLTS aritmetiğinde Σ ve Π yerine sıradan toplam/çarpım kullanmak. ⊕ ve ⊗ operatörleri HFLE element-bazlı genişleme (cartesian) yapar; sıradan + ile karıştırılırsa bilgi kaybolur (Beg-Rashid 2013 §2.3).
•Pitfall #2: BAA G_j'yi geometrik DEĞİL aritmetik ortalama olarak hesaplamak. Paper Eq.10 (∏)^{1/m} formunu kullanır; aritmetik ortalama MABAC'ın "border" tanımının matematiksel sezgisini bozar.
•Pitfall #3: Projection ölçüsünde sadece cosine açısı veya sadece magnitude farkı kullanmak. Eq.13 her ikisini birden korur: sadece cosine: yön ama büyüklük gözardı; sadece magnitude: klasik Öklid uzaklığa düşer ve MABAC'ın projection vasfı kaybolur.
•Pitfall #4: Bonferroni Mean p,q=1 default'unu sorgulamadan kullanmak. Paper §5.4 sensitivity analizinde (p,q) çiftinin sıralamayı değiştirebileceğini gösterir; thesis'te en az 2-3 parametre seçimi raporlanmalı.
•Pitfall #5: Cost normalizasyonu için reciprocal (1/h) veya max−h kullanmak. HFLTS'te Def.5 neg() operatörü tek geçerli yöntemdir; reel-sayı dönüşümleri linguistic semantiği bozar.

Worked example

1.Adım 1 (F1): Step 1 (Sun 2018 Transformation Stage Step 1): Convert linguistic CLEs to HFLTSs via transformation function E_{G_H}; assemble HFLTS decision matrix H = (h_S_ij)_{m×n}. Formül: E_{G_H}: ll → H_S per Sun 2018 Def.3 production rules: E_{G_H}(at most s_i)={s_j|s_j≤s_i}; E_{G_H}(at least s_i)={s_j|s_j≥s_i}; E_{G_H}(between s_i and s_j)={s_k|s_i≤s_k≤s_j}; E_{G_H}(less than s_i)={s_j|s_j<s_i}; E_{G_H}(greater than s_i)={s_j|s_j>s_i}. Anchor: Sun 2018 Def.3 + Transformation Stage Step 1; Rodríguez et al. 2012.
2.Adım 2 (F2): Step 2 (Sun 2018 Eq.16): Normalize decision matrix. For maximizing criteria: n_S_ij = h_S_ij (identity). For minimizing criteria: n_S_ij = h̄_S_ij (complement per Def.6 #3): h̄_S = V^{-1}(∪_{γ∈V(h_S)} {1-γ}). Formül: n_S_ij = h_S_ij if c_j ∈ B (max); n_S_ij = V^{-1}(∪_{γ∈V(h_S_ij)} {1-γ}) if c_j ∈ C (min) [Sun 2018 Eq.(16)]. Transformation: v(δ_l) = δ_l/(2g) + 1/2 [Eq.4]; V^{-1}(γ_l) = (2γ_l - 1)g [Def.4 #2]. Anchor: Sun 2018 Eq.(16); Def.6 (complement); Def.4 (V, V^{-1}).
3.Adım 3 (F3): Step 3 (Sun 2018 Eq.17): Construct weighted HFLTSs decision matrix T = (t_ij)_{m×n}. Each cell is the scalar-multiplied HFLE: t_ij = w_j · n_S_ij. Formül: t_ij = w_j · n_S_ij = V^{-1}(∪_{γ ∈ V(n_S_ij)} {w_j · γ}) [Sun 2018 Eq.(17)]. Equivalent fast form for HFLE n_S = {s_δ_l}: t = {s_{(2·w_j·v(δ_l)-1)·g}} = {s_{w_j·(δ_l+g) - g}}. Anchor: Sun 2018 Eq.(17); Def.4-5 V/V^{-1} transformations.
4.Adım 4 (F4): Step 4 (Sun 2018 Eq.18): Compute Border Approximation Area (BAA) vector G = (g_j)_{1×n}. For each criterion column, ARITHMETIC mean of subscripts across alternatives (NOT geometric: design departure from classical Pamucar 2015, per Yu et al. 2017 fuzzy-MABAC precedent). Formül: g_j = {ḡ_{jl} = (1/m) · Σ_{i=1}^m δ̃_{l}^{ij} | l=1,...,L} [Sun 2018 Eq.(18)]. Here δ̃_{l}^{ij} is the l-th subscript of the extended-to-common-L weighted HFLE t̃_ij. Equalization rule: extend shorter HFLE by adding median linguistic term s̄ = (s+ + s-)/2 until all cells in column have length L = max_i|t_ij|. Anchor: Sun 2018 Eq.(18) + Section 2.1 cardinality equalization; Yu et al. 2017 (arithmetic-mean precedent for fuzzy MABAC).
5.Adım 5 (F5): Step 5 (Sun 2018 Eqs.12-15 + Eq.19-20): Compute distance matrix P = (p_ij)_{m×n} via projection-based SIGNED difference. For each cell: p_ij = d_proj(t_ij, g_j) = (Proj_k(t_ij) - Proj_k(g_j)) / |k|, where k is any HFLE dominating both (default k = {s_g}). Belongingness Eq.(20): a_i ∈ G+ (UAA) if p_ij>0; G (BAA) if p_ij=0; G- (LAA) if p_ij<0. Formül: Inner product Eq.(8): h_S1 · h_S2 = Σ_{l=1}^L ((δ_l^1+g+1)/(2g+1)) · ((δ_l^2+g+1)/(2g+1)). Modulus Eq.(9-10): |h_S| = sqrt(Σ_l ((δ_l+g+1)/(2g+1))²). Projection Eq.(12): Proj_{h_S2}(h_S1) = |h_S1|·Cos(h_S1,h_S2) = (h_S1·h_S2)/|h_S2|. Projection-based difference Eq.(15): d_proj(h_S1,h_S2) = (Proj_k(h_S1) - Proj_k(h_S2))/|k|, where k is any HFLE with h_S1 ≺ k and h_S2 ≺ k. Belongingness Eq.(20): p_ij>0 → G+; p_ij=0 → G; p_ij<0 → G-. Anchor: Sun 2018 Def.8-10 + Eqs.(7)-(15), (19)-(20).
6.Adım 6 (F6): Step 6 (Sun 2018 Eq.21-22): Aggregate criterion distances via Bonferroni Mean. First shift p_ij to non-negative: p̃_ij = p_ij + θ where θ ≥ |min(p_ij)|. Then CC_i = BM^{p,q}(p̃_i1,...,p̃_in) = ((1/[n(n-1)]) · Σ_{j,k=1, j≠k}^n p̃_ij^p · p̃_ik^q)^{1/(p+q)}. Special case p=1,q=0 (Eq.22): CC_i = S_i/n + θ where S_i = Σ p_ij: reduces to classical MABAC ranking. Larger CC_i → higher rank. Formül: θ ≥ |min_{i,j} p_ij|; p̃_ij = p_ij + θ ≥ 0. CC_i = BM^{p,q}(p̃_i1,...,p̃_in) = ((1/(n(n-1))) Σ_{j≠k, j,k=1..n} p̃_ij^p · p̃_ik^q)^{1/(p+q)} [Sun 2018 Eq.(21)]. Special: p=1, q=0 ⇒ CC_i = (1/n) S_i + θ where S_i = Σ_j p_ij [Eq.(22)]. Ranking: A_i ≻ A_{i'} ⟺ CC_i > CC_{i'}. Anchor: Sun 2018 Eqs.(21)-(22); Bonferroni 1950; Yager 2009.

How to cite

Sun, R.; Hu, J.; Zhou, J.; Chen, X. (2018). A Hesitant Fuzzy Linguistic Projection-Based MABAC Method for Patients' Prioritization. International Journal of Fuzzy Systems. https://doi.org/10.1007/s40815-017-0345-7

BibTeX RIS APA (.txt)DOI ↗

Overview

Edge cases

•BAA G_j hesabında bazı ν_ij sıfır-üye HFLE ise geometrik ortalama 0'a düşer: paper §3.2'de açıkça "HFLE'ler boş olmayacak" varsayımı yapar; engine boş HFLE girişini reddeder.

•Projection paydası ‖G_j‖² → 0 dejenere: bu yalnız BAA'nın tüm bileşenleri sıfırsa olur (yani tüm alternatifler o kriterde s_0); engine kriteri non-discriminating işaretler ve skora katmaz.

•BM parametreleri p,q ≠ 1 alternatif: paper p=q=1 default kullanır ama p=q=2 (quadratic) veya p=1,q=2 (asymmetric) seçimleri kriter-içi etkileşimi farklı modellenir; bunu değiştirmek hospital case ranking'inde 2.-3. sıralarda swap üretebilir (paper §5.4).

•Cost normalizasyon Def.5'in neg(h_S) = {s_τ−α : s_α ∈ h_S} tanımı LTS'in 2τ+1 sembollü (simetrik 0-merkezli değil, 0..τ aralıklı) bir varyantı varsayar: kullanıcı asimetrik LTS girerse normalizasyon doğru çalışmaz.

Common pitfalls

•Pitfall #1: HFLTS aritmetiğinde Σ ve Π yerine sıradan toplam/çarpım kullanmak. ⊕ ve ⊗ operatörleri HFLE element-bazlı genişleme (cartesian) yapar; sıradan + ile karıştırılırsa bilgi kaybolur (Beg-Rashid 2013 §2.3).

•Pitfall #2: BAA G_j'yi geometrik DEĞİL aritmetik ortalama olarak hesaplamak. Paper Eq.10 (∏)^{1/m} formunu kullanır; aritmetik ortalama MABAC'ın "border" tanımının matematiksel sezgisini bozar.

•Pitfall #3: Projection ölçüsünde sadece cosine açısı veya sadece magnitude farkı kullanmak. Eq.13 her ikisini birden korur: sadece cosine: yön ama büyüklük gözardı; sadece magnitude: klasik Öklid uzaklığa düşer ve MABAC'ın projection vasfı kaybolur.

•Pitfall #4: Bonferroni Mean p,q=1 default'unu sorgulamadan kullanmak. Paper §5.4 sensitivity analizinde (p,q) çiftinin sıralamayı değiştirebileceğini gösterir; thesis'te en az 2-3 parametre seçimi raporlanmalı.

•Pitfall #5: Cost normalizasyonu için reciprocal (1/h) veya max−h kullanmak. HFLTS'te Def.5 neg() operatörü tek geçerli yöntemdir; reel-sayı dönüşümleri linguistic semantiği bozar.

Worked example

1.Adım 1 (F1): Step 1 (Sun 2018 Transformation Stage Step 1): Convert linguistic CLEs to HFLTSs via transformation function E_{G_H}; assemble HFLTS decision matrix H = (h_S_ij)_{m×n}. Formül: E_{G_H}: ll → H_S per Sun 2018 Def.3 production rules: E_{G_H}(at most s_i)={s_j|s_j≤s_i}; E_{G_H}(at least s_i)={s_j|s_j≥s_i}; E_{G_H}(between s_i and s_j)={s_k|s_i≤s_k≤s_j}; E_{G_H}(less than s_i)={s_j|s_j<s_i}; E_{G_H}(greater than s_i)={s_j|s_j>s_i}. Anchor: Sun 2018 Def.3 + Transformation Stage Step 1; Rodríguez et al. 2012.

2.Adım 2 (F2): Step 2 (Sun 2018 Eq.16): Normalize decision matrix. For maximizing criteria: n_S_ij = h_S_ij (identity). For minimizing criteria: n_S_ij = h̄_S_ij (complement per Def.6 #3): h̄_S = V^{-1}(∪_{γ∈V(h_S)} {1-γ}). Formül: n_S_ij = h_S_ij if c_j ∈ B (max); n_S_ij = V^{-1}(∪_{γ∈V(h_S_ij)} {1-γ}) if c_j ∈ C (min) [Sun 2018 Eq.(16)]. Transformation: v(δ_l) = δ_l/(2g) + 1/2 [Eq.4]; V^{-1}(γ_l) = (2γ_l - 1)g [Def.4 #2]. Anchor: Sun 2018 Eq.(16); Def.6 (complement); Def.4 (V, V^{-1}).

3.Adım 3 (F3): Step 3 (Sun 2018 Eq.17): Construct weighted HFLTSs decision matrix T = (t_ij)_{m×n}. Each cell is the scalar-multiplied HFLE: t_ij = w_j · n_S_ij. Formül: t_ij = w_j · n_S_ij = V^{-1}(∪_{γ ∈ V(n_S_ij)} {w_j · γ}) [Sun 2018 Eq.(17)]. Equivalent fast form for HFLE n_S = {s_δ_l}: t = {s_{(2·w_j·v(δ_l)-1)·g}} = {s_{w_j·(δ_l+g) - g}}. Anchor: Sun 2018 Eq.(17); Def.4-5 V/V^{-1} transformations.

4.Adım 4 (F4): Step 4 (Sun 2018 Eq.18): Compute Border Approximation Area (BAA) vector G = (g_j)_{1×n}. For each criterion column, ARITHMETIC mean of subscripts across alternatives (NOT geometric: design departure from classical Pamucar 2015, per Yu et al. 2017 fuzzy-MABAC precedent). Formül: g_j = {ḡ_{jl} = (1/m) · Σ_{i=1}^m δ̃_{l}^{ij} | l=1,...,L} [Sun 2018 Eq.(18)]. Here δ̃_{l}^{ij} is the l-th subscript of the extended-to-common-L weighted HFLE t̃_ij. Equalization rule: extend shorter HFLE by adding median linguistic term s̄ = (s+ + s-)/2 until all cells in column have length L = max_i|t_ij|. Anchor: Sun 2018 Eq.(18) + Section 2.1 cardinality equalization; Yu et al. 2017 (arithmetic-mean precedent for fuzzy MABAC).

5.Adım 5 (F5): Step 5 (Sun 2018 Eqs.12-15 + Eq.19-20): Compute distance matrix P = (p_ij)_{m×n} via projection-based SIGNED difference. For each cell: p_ij = d_proj(t_ij, g_j) = (Proj_k(t_ij) - Proj_k(g_j)) / |k|, where k is any HFLE dominating both (default k = {s_g}). Belongingness Eq.(20): a_i ∈ G+ (UAA) if p_ij>0; G (BAA) if p_ij=0; G- (LAA) if p_ij<0. Formül: Inner product Eq.(8): h_S1 · h_S2 = Σ_{l=1}^L ((δ_l^1+g+1)/(2g+1)) · ((δ_l^2+g+1)/(2g+1)). Modulus Eq.(9-10): |h_S| = sqrt(Σ_l ((δ_l+g+1)/(2g+1))²). Projection Eq.(12): Proj_{h_S2}(h_S1) = |h_S1|·Cos(h_S1,h_S2) = (h_S1·h_S2)/|h_S2|. Projection-based difference Eq.(15): d_proj(h_S1,h_S2) = (Proj_k(h_S1) - Proj_k(h_S2))/|k|, where k is any HFLE with h_S1 ≺ k and h_S2 ≺ k. Belongingness Eq.(20): p_ij>0 → G+; p_ij=0 → G; p_ij<0 → G-. Anchor: Sun 2018 Def.8-10 + Eqs.(7)-(15), (19)-(20).

6.Adım 6 (F6): Step 6 (Sun 2018 Eq.21-22): Aggregate criterion distances via Bonferroni Mean. First shift p_ij to non-negative: p̃_ij = p_ij + θ where θ ≥ |min(p_ij)|. Then CC_i = BM^{p,q}(p̃_i1,...,p̃_in) = ((1/[n(n-1)]) · Σ_{j,k=1, j≠k}^n p̃_ij^p · p̃_ik^q)^{1/(p+q)}. Special case p=1,q=0 (Eq.22): CC_i = S_i/n + θ where S_i = Σ p_ij: reduces to classical MABAC ranking. Larger CC_i → higher rank. Formül: θ ≥ |min_{i,j} p_ij|; p̃_ij = p_ij + θ ≥ 0. CC_i = BM^{p,q}(p̃_i1,...,p̃_in) = ((1/(n(n-1))) Σ_{j≠k, j,k=1..n} p̃_ij^p · p̃_ik^q)^{1/(p+q)} [Sun 2018 Eq.(21)]. Special: p=1, q=0 ⇒ CC_i = (1/n) S_i + θ where S_i = Σ_j p_ij [Eq.(22)]. Ranking: A_i ≻ A_{i'} ⟺ CC_i > CC_{i'}. Anchor: Sun 2018 Eqs.(21)-(22); Bonferroni 1950; Yager 2009.