SF-WPM: Spherical extension of WPM

Overview

SF-WPM (SVWPM = Single-Valued Spherical Fuzzy Simple Weighted Product), SF-SAW'ın multiplicative versiyonu. Aynı kurulum (Steps 1-4), aynı ağırlık defuzz; farkı Step 5-6: toplam yerine ÇARPIM, scalar-mult yerine SF λ-power (Eq.6). Mantık: klasik WPM'in (Bridgman 1922, Miller-Starr 1969) geometrik agg. logiği: bir kriterde zayıf olan alternatif TÜMÜYLE düşer. SF'de λ-power formülü Eq.6: x̃^λ = (μ^λ, (1−(1−v²)^λ)^(1/2), ((1−v²)^λ − (1−v²−π²)^λ)^(1/2)). Bu formül membership'i λ ile küçültür, non-membership'i artırır, hesitancy'yi korur. SVWPM_i = Π_j x̃_ij^(w̄^s_j) Eq.34: burada ağırlık (defuzzified, normalized) üs olarak görev yapar. Sonuç triple Eq.35 score ile defuzzify → ranking.

Strengths

• •Multiplicative aggregation Eq.34 uses λ-power Eq.6 which preserves hesitancy through (1−(1−v²)^λ)^(1/2) term.
• •Steps 1-4 identical to SVSAW: easy to teach as "SAW vs WPM" comparison.
• •Robust to scale differences across criteria when weights are normalized.

Limitations

• •Strongly punishes weak criteria (geometric mean property): may give counter-intuitive rankings if one criterion has structurally low μ.
• •Same score-form dependency as SF-SAW.
• •Less interpretable when w̃^s_j (defuzzified weights) are fractional/small.

Assumptions to verify

• •Decision matrix entries are valid Spherical Fuzzy numbers/tuples
• •Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• •All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

When not to use

• •Crisp data sufficient: use base WPM directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• •Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified: output ambiguous

Edge cases

• •Bir cell'de μ=0: λ-power Eq.6'da μ^λ=0: o cell'in katkısı SF-çarpımda membership'i sıfırlar (multiplicative property). Hesitancy π=0: Eq.6'da (1−v²)^λ−(1−v²−0)^λ = 0 → hesitancy korunur (sıfır kalır). λ=0 sınırı: x̃^0 should be identity (1,0,0) ama Eq.6'da λ→0 limit alınmalı (Liu 2010 / Ashraf 2019 definition). Tüm ağırlıklar eşit (w̄^s_j hepsi 1/n): SF geometrik ortalama olur. Cost criteria için (SAW ile aynı): linguistik girdiyi tersine çevir, μ↔v swap yapma.

Common pitfalls

• •(1) WPM'de μ→0 olan cell tüm ürünü sıfırlar: bu YANLIŞ DEĞİL, WPM'in tasarım özelliği (zayıf-kriter ezme). DM bunu kabul etmiyorsa SAW kullanmalı. (2) Eq.6 λ-power formülünde (1−v²−π²)^λ terimi vs (1−v²)^λ terimi farkını unutma: π=0 edge case'ini test et. (3) SF multiplication ⊗ Eq.4 SAW'daki ⊕ değil: membership'i çarp, hesitancy'yi non-membership-bazlı formülle birleştir. (4) λ=w̄^s_j fraksiyonel değer (0<λ<1): Eq.6'da bu OK; ama λ=0 veya λ>1 edge case'leri kontrol et. (5) SVWPM_i sonucu bir SF triple: defuzzify edip ranking için Eq.35. (6) WPM ile SAW sıralamasını karşılaştır: çoğu vakada UYUM, ama bir alt çok düşük μ'lu kriter'de WPM cezalandırır: bu robustness check'in göstergesi.

Commonly paired with

• •n_a + SF-WPM (common)

How to cite