Bonferroni Ortalaması (BM)

Bonferroni ortalaması, kriterleri tek tek değil çift çift ele alan bir toplulaştırma yapı taşıdır. WAM gibi doğrudan bir karar yöntemi değildir; kriterler arasında karşılıklı bir etkileşim olduğu, yani bir kriterdeki zayıflığın başka bir kriterdeki zayıflıkla bir araya geldiğinde durumu daha da kötüleştirdiği varsayıldığında WAM'in yerine geçen bir toplulaştırma adımıdır. Her olası kriter çiftinin çarpımı alınır, bu çarpımlar ortalanır ve sonucun kökü alınır. Çıktısı, girdilerle aynı ölçekte tek bir sayıdır.

Yöntemin adı, çiftli çarpım toplamlarını 1950'de tanımlayan İtalyan matematikçi Carlo Bonferroni'den gelir; o dönemde herhangi bir karar analizi uygulaması yoktu, yalnızca saf bir eşitsizlik tanımıydı. Bu tanımı çok kriterli karar vermeye taşıyan ve ağırlıklı biçimini ortaya koyan çalışma Beliakov ve arkadaşlarının 2010 tarihli makalesidir; kısa süre sonra Xu ve Yager bu operatörü sezgisel bulanık sayılara genişletmiştir.

Bonferroni ortalamasının felsefesi, kriterlerin birbirinden bağımsız olmadığı durumları yakalamaktır. WAM her kriteri diğerlerinden habersiz biçimde toplar; bir kriterin zayıf, başka bir kriterin güçlü olması sonucu değiştirmez, çünkü katkılar toplanır. Bonferroni ortalaması ise her kriteri diğer her kriterle çift çift eşleştirip çarpar; iki kriter aynı anda zayıfsa bu çift düşük bir çarpım üretir ve ortalamayı aşağı çeker. Tek bir kriterin zayıf, diğerlerinin güçlü olduğu durumda bu etki daha sınırlıdır, çünkü o zayıf kriter yalnızca kendisini içeren çiftlerde etkilidir.

Bu, Bonferroni ortalamasını "kriterler arasında risk bulaşması var" diyen bir karar anlayışına oturtur. Örneğin bir sistemin güvenliği değerlendirilirken tek bir zayıf nokta endişe vericidir, ama iki zayıf noktanın aynı anda var olması çok daha büyük bir risktir; Bonferroni ortalaması bu türden bir bulaşma varsayımını sayısal olarak yakalar. WAM bu bulaşmayı göremez, çünkü kriterleri birbirinden bağımsız kabul eder.

Bonferroni ortalaması dört girdi ister: kriter puanları, iki parametre (p ve q) ve isteğe bağlı ağırlıklar.

Birinci adım, girdileri doğrulamak. Kriter sayısının en az iki olduğu, p ve q parametrelerinin negatif olmadığı ve ağırlık kullanılıyorsa toplamlarının 1'e eşit olduğu kontrol edilir.

İkinci adım, ağırlıksız Bonferroni ortalamasını almak. Her sıralı kriter çifti (bir kriterin kendisiyle eşleşmediği tüm ikili kombinasyonlar) için bir kriterin p'inci kuvveti ile diğerinin q'uncu kuvveti çarpılır. Bu çarpımların ortalaması alınır, sonra bu ortalamanın (p artı q)'uncu kökü alınır.

Üçüncü adım, ağırlıklı biçime geçmek. Kriterlerin önemi farklıysa, ikinci adımdaki basit ortalama yerine her çiftin ağırlıklarının çarpımıyla tartılmış bir ortalama kullanılır.

Dördüncü adım, sıralamak. Her seçenek için bu işlem tekrarlanır ve seçenekler sonuç puanına göre büyükten küçüğe sıralanır.

Adımın formülü, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Bonferroni ortalamasının verdiği sayı, kriterler arasındaki karşılıklı zayıflıkların ne kadar üst üste bindiğini yansıtan bir toplam performanstır. Puan düşük çıktıysa bu, birden çok kriterin aynı anda zayıf olduğuna işaret edebilir; tek bir kriterdeki izole bir zayıflık bu kadar sert bir düşüşe yol açmaz.

Bu sayının en dikkat çekici özelliği, WAM'in ayırt edemediği durumları ayırt edebilmesidir. Aynı ortalama puana sahip iki seçenek, biri dengeli biri dengesiz olsa bile WAM'e göre eşittir; Bonferroni ortalaması bu iki seçeneği farklı puanlar vererek ayırır ve dengesiz olanı biraz geride bırakır.

Bu nedenle:

"Bonferroni puanı düşük çıktı, bu seçenek genel olarak zayıf"

yerine:

"Bonferroni puanı düşük çıktı; bu, seçeneğin birden çok kriterde aynı anda zayıf olabileceğine işaret eder, hangi kriter çiftlerinin bu düşüşe katkıda bulunduğu ayrıca incelenmelidir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Bonferroni ortalaması kesin (crisp) ve negatif olmayan veriyle çalışır. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir bulanık, gri ya da sezgisel uzantısı yoktur; kesin sayılarla çalışır.

Elinizde şunlar olmalı: en az iki kriterin puanları, aynı ölçekte ve karşılaştırılabilir olmalı; p ve q parametreleri için bir seçim (eşit ve 1 alınması en yaygın ve en yorumlanabilir başlangıç noktasıdır); isteğe bağlı olarak toplamı 1 olan ağırlıklar. p ve q büyütüldükçe operatör aşırı değerlere daha duyarlı hâle gelir; bu seçim veriden değil analistin risk anlayışından gelir ve raporda belirtilmelidir.

Kriterler arasında gerçek bir etkileşim varsa, yani birden çok kriterin aynı anda zayıf olması tek bir kriterin zayıf olmasından daha kötü bir durum sayılıyorsa Bonferroni ortalaması uygun bir seçimdir. Güvenlik, risk yönetimi ve kalite denetimi gibi "zayıflıkların bir araya gelmesi tehlikelidir" anlayışının geçerli olduğu alanlarda doğal bir yeri vardır.

Kriterler gerçekten birbirinden bağımsızsa ya da p ve q parametrelerinin seçimini gerekçelendirecek bir bilgi yoksa Bonferroni ortalaması gereksiz bir karmaşıklık katar; bu durumda WAM yeterlidir. Yorumu karar vericiye kolayca anlatılamayacaksa, yani "neden bu iki seçenek aynı ortalamaya sahipken farklı puan aldı" sorusuna hazırlıklı değilseniz de kullanılmamalıdır.

Kriterler arasında karşılıklı etkileşim (aynı anda zayıflık riski) var → Bonferroni ortalaması

Kriterler bağımsız, ek karmaşıklık gerekmiyor → WAM

Etkileşim değil, tek bir kriterin aşırı düşüklüğü cezalandırılsın isteniyor → WGM ya da WHM

Çiftler değil üçlü ya da daha büyük gruplar arasındaki etkileşim isteniyor → Heronian ortalaması ya da daha yüksek dereceli genellemeler

Etkileşim derecesi tek bir parametreyle ayarlanabilir olsun isteniyor → Güç ortalaması (Power Mean), ama bu ailede kriter etkileşimi yakalanmaz

Bonferroni ortalamasının en önemli üstünlüğü, WAM'in göremediği bir bilgiyi görünür kılmasıdır: kriterler arasındaki karşılıklı zayıflığı. Bu özellik, Beliakov ve arkadaşlarının gösterdiği gibi, operatöre tekdüzelik ve sınır koşullarını koruyan sağlam matematiksel özellikler kazandırır (Beliakov ve ark., 2010). Ayrıca p ve q parametreleri sayesinde operatör, tam telafiden (p, q sıfıra yaklaştığında) güçlü etkileşim yakalamaya kadar geniş bir aralıkta ayarlanabilir; bu esneklik, Xu ve Yager'in gösterdiği gibi belirsiz ve öznel değerlendirmelerin bulunduğu ortamlara da taşınabilir (Xu ve Yager, 2011).

Bonferroni ortalamasının zayıflığı, yorumunun WAM'e göre çok daha zor olmasıdır; karar vericiye "neden iki seçeneğin ortalaması aynıyken puanları farklı" sorusunu açıklamak ek bir çaba gerektirir. Ayrıca p ve q parametrelerinin seçimi büyük ölçüde keyfidir; farklı p, q çiftleri aynı veriden farklı sıralar üretebilir ve bu seçim genellikle veriden değil analistin varsayımından gelir (Beliakov ve ark., 2010). Son olarak, kriter sayısı arttıkça çift sayısı hızla büyür; hesap yükü WAM'e göre daha fazladır ve çok sayıda kriterle çalışırken performans etkisi göz önünde bulundurulmalıdır.

En sık görülen hata, p ve q parametrelerini hiçbir gerekçe sunmadan varsayılan değerde (genellikle p = q = 1) bırakmaktır; bu seçim veriye değil bir varsayıma dayanır ve raporda açıklanmalıdır. İkinci hata, Bonferroni ortalamasını kriterler gerçekten bağımsızken kullanmaktır; bu durumda operatör gereksiz bir karmaşıklık katar ve WAM'den anlamlı biçimde farklı bir sonuç vermez. Üçüncü hata, iki seçeneğin Bonferroni puanları arasındaki küçük bir farkı, aralarındaki etkileşim yapısındaki büyük bir farkla karıştırmaktır; puan farkı küçük olsa bile altında yatan kriter deseni çok farklı olabilir.

Temel ilke şudur:

Bonferroni ortalaması, WAM'in eşit gösterdiği iki seçeneği ayırt edebilir; ama bu ayrımın hangi kriter çiftinden geldiği açıklanmadan rapor edilirse sonuç anlaşılmaz kalır.