Choquet İntegrali (Choquet Integral)

Ağırlıklı ortalama gibi klasik toplulaştırma yöntemleri, her kritere sabit bir ağırlık verir ve bu ağırlıkları toplar; kriterlerin birbirini nasıl etkilediğini görmez. Choquet integrali bunun yerine yalnızca tek tek kriterlere değil, kriter gruplarına da bir "önem ölçüsü" (bulanık ölçü) atar. Bu sayede iki kriter birbirini tamamlıyorsa (birlikte tek başlarına olduklarından daha değerli oluyorlarsa) ya da birbiriyle örtüşüyorsa (aynı bilgiyi tekrarlıyorlarsa) bu ilişki hesaba katılır. Çıktısı her seçenek için tek bir toplulaştırılmış değerdir; klasik ağırlıklı ortalama bu değerin özel bir durumudur. Choquet integrali, Michel Sugeno'nun bulanık ölçü kuramına dayanarak Toshiaki Murofushi ve Sugeno tarafından 1989'da karar analizine uyarlanmıştır.

Choquet integralinin arkasındaki fikir, kriterlerin bağımsız olmadığı durumları görmezden gelmemektir. İki güvenlik önlemi birlikte uygulandığında tek başlarına sağladıkları güvenden daha fazlasını sağlıyorsa, bu iki kriter sinerjiktir ve birlikte değerlendirildiklerinde ağırlıkları toplamlarından daha büyük sayılmalıdır. İki maliyet kalemi aynı bütçe kısıtını farklı açılardan ölçüyorsa, bu iki kriter fazlalıktır ve birlikte değerlendirildiklerinde ağırlıkları toplamlarından daha küçük sayılmalıdır. Choquet integrali, seçeneğin en kötü performans gösterdiği kriterden başlayarak, sırayla daha iyi kriterlere doğru "önem ölçüsünün artışını" toplar. Felsefi sonucu şudur, Choquet integrali telafi edicidir ama telafiyi kriterlerin bağımsız olduğu varsayımıyla değil, kriter gruplarının gerçek önemiyle yapar.

Yöntem dört adımda ilerler.

Birinci adım, tekil önem değerlerini belirlemek. Her kriter için ayrı ayrı bir önem değeri (yoğunluk) belirlenir; bu değerler uzman görüşünden ya da veriden gelebilir.

İkinci adım, etkileşim katsayısını çözmek. Kriter yoğunluklarının toplamı 1'den küçükse kriterler arasında sinerji, 1'den büyükse fazlalık, tam 1'e eşitse hiçbir etkileşim yoktur. Bu toplam, tek bir etkileşim katsayısı üzerinden tüm kriter gruplarının önem ölçüsünü belirleyecek biçimde çözülür.

Üçüncü adım, her kriter grubunun önem ölçüsünü kurmak. Etkileşim katsayısı bulunduktan sonra, tekil kriterlerden ikili gruplara, üçlü gruplara ve nihayet tüm kriterlerin oluşturduğu tam kümeye kadar her grubun önem ölçüsü hesaplanır; tam kümenin önem ölçüsü her zaman 1'dir.

Dördüncü adım, integrali almak. Bir seçeneğin kriter değerleri en kötüden en iyiye sıralanır. En kötü değer, tüm kriterlerin oluşturduğu tam kümenin önem ölçüsüyle (yani 1 ile) çarpılır; bir sonraki değerle arasındaki fark, kalan (daha iyi) kriterlerin oluşturduğu grubun önem ölçüsüyle çarpılır; bu, en iyi kritere kadar sürer ve tüm bu çarpımlar toplanarak nihai değer bulunur.

Adımların formülleri ve ara tablolar DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Choquet integrali değeri, seçeneğin kriter gruplarındaki etkileşimler de hesaba katılarak bulunan toplu performansını gösterir; yüzde ya da olasılık değildir ve yalnızca bu seçenek kümesi, bu kriterler ve bu önem ölçüsü için anlamlıdır. Değerin dördüncü adımdaki yapısı nedeniyle, bir seçeneğin EN ZAYIF olduğu kriter her zaman tam kümenin önem ölçüsüyle (en yüksek ağırlıkla) çarpılır; bu, yöntemin bir seçeneğin herhangi bir kriterdeki zayıflığına klasik ağırlıklı ortalamadan daha duyarlı davranabileceği anlamına gelir. Kriterler arasında sinerji tanımlanmış olması, "sinerjik kriterlerde güçlü olan seçenek her zaman daha yüksek puan alır" anlamına gelmez; sonuç, hangi kriterde zayıf kalındığına da bağlıdır.

Bu nedenle:

"Kriterler arasına sinerji tanımlandığı için, bu sinerjik kriterlerde güçlü olan seçenek Choquet integralinde her zaman öne çıkar"

yerine:

"Sinerji ya da fazlalık tanımı sonucu belirli bir yönde etkiler ama tek başına garanti etmez; hangi kriterde en zayıf kalındığı da sonucu değiştirir, bu yüzden sonuç klasik ağırlıklı ortalamayla karşılaştırılarak raporlanmalıdır"

biçiminde yazmak doğrudur.

Choquet integrali kesin (crisp) veriyle çalışır: karar tablosundaki her hücre tek bir sayıdır ve genellikle 0 ile 1 arasına ölçeklenmiş (normalize edilmiş) kriter değerleri kullanılır. DecisionMind'da bu yöntemin şu an bulanık ya da başka bir veri türünde uzantısı bulunmuz; temel biçimiyle tek başına çalışır. Elinizde şunlar olmalı: satırlarda seçenekler, sütunlarda kriterler, her kriter için tekil bir önem değeri (yoğunluk) ve bu değerlerin kriterler arasındaki sinerji ya da fazlalığı yansıtacak biçimde uzman görüşüyle belirlenmiş olması. Tekil önem değerlerinin toplamı 1'e eşitse yöntem klasik ağırlıklı ortalamaya indirgenir ve hiçbir etkileşim yakalanmaz; bu, Choquet integralinin kurulumunda sık gözden kaçan bir noktadır. En az iki kriter gerekir; kriter sayısı arttıkça kriter gruplarının sayısı hızla çoğalır ve önem değerlerinin belirlenmesi zorlaşır.

Kriterleriniz arasında bilinen bir sinerji ya da fazlalık ilişkisi varsa (iki kriter birbirini güçlendiriyor ya da aynı bilgiyi tekrarlıyorsa) ve bu ilişkiyi toplulaştırmaya yansıtmak istiyorsanız Choquet integrali uygundur. Kriterleriniz gerçekten bağımsızsa ya da aralarındaki etkileşimi güvenilir biçimde belirleyecek uzman görüşü yoksa Choquet integrali gereksiz karmaşıklık getirir; bu durumda klasik ağırlıklı ortalama hem daha basit hem daha az varsayıma dayalıdır. Tekil önem değerlerinin toplamının 1'e çok yakın olduğu durumlarda Choquet integrali klasik ağırlıklı ortalamadan neredeyse ayırt edilemez bir sonuç verir; bu durumda yöntemin ek karmaşıklığı bir getiri sağlamaz.

Kriterler arasında bilinen sinerji ya da fazlalık var, bu ilişki hesaba katılmalı → Choquet İntegrali

Kriterler bağımsız kabul ediliyor, etkileşim bilgisi yok → klasik ağırlıklı ortalama ya da TOPSIS gibi bağımsızlık varsayan yöntemler

Etkileşim yalnızca belirli kriter çiftlerinde var, tümünde aynı yönde değil → tek katsayılı Choquet integrali yetersiz kalır, daha ayrıntılı bir bulanık ölçü gerekir

Tekil önem değerleri toplamı 1'e çok yakın → sonucun ağırlıklı ortalamadan farkı küçük olacaktır, ek karmaşıklık gerekçelendirilmelidir

Choquet integralinin en büyük üstünlüğü, kriterler arası etkileşimi açıkça modelleyebilmesidir; klasik ağırlıklı ortalamanın göremediği sinerji ve fazlalık ilişkilerini hesaba katar. Tek bir etkileşim katsayısıyla tüm kriter gruplarının önem ölçüsünü belirlediği için, her grup için ayrı ayrı değer belirlemek zorunda kalınmaz; bu, tam genel (Möbius tabanlı) bulanık ölçülere göre çok daha az parametre gerektirir. Tekil önem değerlerinin toplamı 1 olduğunda klasik ağırlıklı ortalamaya birebir indirgenir; bu, yöntemi ağırlıklı ortalamanın doğal bir genellemesi yapar (Grabisch, 1996).

Sınırlılıkları da bu tek katsayılı yapıdan gelir. Tek bir etkileşim katsayısı, tüm kriter çiftleri için aynı yönde (hepsi sinerjik ya da hepsi fazlalık) bir ilişki dayatır; yalnızca belirli bir çiftte sinerji, başka bir çiftte fazlalık olduğu durumları ayrı ayrı tanımlayamaz, bunun için çok daha fazla parametre gerektiren genel bulanık ölçülere geçmek gerekir (Grabisch ve Labreuche, 2010). Tekil önem değerlerinin ve etkileşim yönünün uzman görüşüyle doğru elde edilmesi güçtür; yanlış belirlenen bir yoğunluk, sonucu beklenmedik biçimde değiştirebilir. Yöntemin yapısı gereği bir seçeneğin en zayıf kriteri her zaman en yüksek ağırlıkla (tam kümenin önem ölçüsüyle) çarpıldığı için, sonuç sezgisel olarak "sinerjiyi ödüllendirir" biçiminde basitçe okunamaz; doğru yorum için ağırlıklı ortalamayla karşılaştırma yapılmalıdır.

En sık hata, tekil önem değerlerinin toplamının 1'e eşit olduğu bir kurulumda Choquet integralinin ağırlıklı ortalamadan farklı bir sonuç vereceğini beklemektir; toplam tam 1 olduğunda etkileşim katsayısı sıfır çıkar ve yöntem klasik ağırlıklı ortalamaya indirgenir, hiçbir sinerji ya da fazlalık yakalanmaz. İkinci hata, sinerji tanımlanan kriterlerde güçlü olan bir seçeneğin otomatik olarak daha yüksek puan alacağını varsaymaktır; sonuç, o seçeneğin en zayıf olduğu kritere de bağlıdır ve yön her zaman aynı olmayabilir. Üçüncü hata, tek bir etkileşim katsayısıyla farklı kriter çiftleri arasında farklı yönde (bazısı sinerjik, bazısı fazlalık) ilişkiler tanımlamaya çalışmaktır; bu, yöntemin tek katsayılı kurulumunun yapamadığı bir şeydir.

Temel ilke şudur:

Choquet integrali, kriterler arası etkileşimi görünür kılar ama sonucu basitçe "sinerji kazanır, fazlalık kaybeder" diye okumak yanlıştır; sonuç her zaman ağırlıklı ortalamayla karşılaştırılarak ve en zayıf kriterin etkisi göz önünde tutularak yorumlanmalıdır.