Geometrik Tutarlılık İndeksi (Geometric Consistency Index, GCI)

AHP gibi yöntemlerde karar verici, kriterleri ya da seçenekleri ikişer ikişer karşılaştırıp "A, B'den kaç kat daha önemli" türünden yargılar verir. Bu yargılar bir ikili karşılaştırma matrisinde toplanır. İnsan yargıları her zaman tam tutarlı değildir: A, B'den üç kat önemli; B, C'den iki kat önemli denmişse, A'nın C'den altı kat önemli çıkması beklenir, ama karar verici doğrudan dört kat demiş olabilir. Geometrik tutarlılık indeksi, matristeki bütün yargıların birbiriyle ne kadar uyumlu olduğunu tek bir sayıya indirger. Sıfıra yakın bir değer yüksek tutarlılığı, büyük bir değer düşük tutarlılığı gösterir. Aguarón ve Moreno-Jiménez tarafından 2003'te, Saaty'nin klasik tutarlılık oranına (CR) bir alternatif olarak önerilmiştir.

Bu yöntemin arkasındaki fikir, tutarlılığı olasılık ya da özdeğer üzerinden değil, doğrudan yargıların kendi aralarındaki geometrik ilişki üzerinden ölçmektir. Bir yargı matrisi tam tutarlıysa, her yargı diğer yargılardan çıkarılabilir olmalıdır; GCI, gerçek yargı ile bu "beklenen" yargı arasındaki farkı, çarpımsal (logaritmik) bir ölçekte ölçer. Çarpımsal ölçek seçilmesinin nedeni, karşılaştırma yargılarının kendisinin çarpımsal olmasıdır (üç kat, dört kat gibi); toplamsal bir fark burada yanıltıcı olur. Felsefi sonucu şudur: yöntem karar vermez, kriter sıralamaz; karar vericinin kendi yargılarının iç tutarlılığını denetler ve yargıların yeniden gözden geçirilmesi gerekip gerekmediğini söyler.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, öncelik vektörü. İkili karşılaştırma matrisinin her satırı için, o satırdaki bütün yargıların geometrik ortalaması alınır. Bu, her kriterin ya da seçeneğin göreli önemini temsil eden bir sayı (öncelik) verir; bütün öncelikler toplamı bire gelecek biçimde ölçeklenebilir.

İkinci adım, sapma hesabı. Matristeki her yargı, öncelik vektöründen "beklenen" değeriyle karşılaştırılır. Gerçek yargı ile beklenen yargının oranının logaritması alınır ve karesi hesaplanır; bu, o tek yargının ne kadar tutarsız olduğunu gösterir. Bütün yargı çiftleri için bu kareler toplanır ve matris büyüklüğüne göre ölçeklenerek tek bir sayıya (GCI) indirgenir.

Üçüncü adım, eşikle karşılaştırma. Hesaplanan GCI, matris büyüklüğüne bağlı bir eşik değeriyle karşılaştırılır. GCI eşiğin altındaysa matris kabul edilebilir düzeyde tutarlıdır; eşiğin üzerindeyse en çok sapmaya neden olan yargı çifti belirlenip karar vericiden bu yargıyı gözden geçirmesi istenir.

Adımların formülü DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

GCI değeri sıfıra ne kadar yakınsa matris o kadar tutarlıdır; sıfırın kendisi yalnız matematiksel olarak kusursuz tutarlılıkta (bir yargıdan bütün diğerlerinin tam olarak çıkarılabildiği durumda) elde edilir, gerçek yargılarda neredeyse hiç görülmez. GCI'nin matris büyüklüğüne bağlı bir eşiği vardır; üç kriterlik bir matriste kabul edilebilir eşik, beş kriterlik bir matrisinkinden farklıdır, bu yüzden GCI değerleri farklı büyüklükteki matrisler arasında doğrudan karşılaştırılmamalıdır. GCI'nin eşiğin altında çıkması "yargılar doğru" demek değildir; yalnız yargıların birbiriyle çelişmediğini, mantıksal olarak tutarlı olduğunu gösterir. Bir karar verici tamamen yanlış ama iç tutarlı yargılar verebilir; GCI bunu yakalamaz. Bu nedenle:

"GCI düşük çıktı, bu yüzden ağırlıklar doğrudur"

yerine:

"GCI eşiğin altındadır, bu yüzden yargılar birbiriyle mantıksal olarak çelişmemektedir; yargıların içeriğinin doğruluğu ayrı bir sorudur"

biçiminde yazmak doğrudur.

Geometrik tutarlılık indeksi kesin veriyle çalışır; girdisi, karşılıklı (resiprokal) bir ikili karşılaştırma matrisidir. Matriste köşegen bir olmalı, a_ij ve a_ji birbirinin çarpımsal tersi olmalıdır (a_ij = 1/a_ji) ve bütün değerler pozitif olmalıdır. En az üç kriter ya da seçenek gerekir; ikili karşılaştırmada (iki öğe) tutarlılık kavramı anlamsızdır, çünkü çelişecek üçüncü bir yargı yoktur. DecisionMind'da bu yöntemin bir uzantısı yoktur; aynı matrise Harmonik Tutarlılık İndeksi (HCI) gibi komşu bir tutarlılık ölçütü de uygulanabilir, ikisi birbirini doğrular.

Bir AHP çalışmasında ya da başka bir ikili karşılaştırma temelli ağırlıklandırmada, karar vericinin yargılarının iç tutarlılığı denetlenmek isteniyorsa GCI tam yerindedir. Özellikle Saaty'nin klasik tutarlılık oranı (CR) özdeğer hesabı gerektirdiğinden büyük matrislerde yavaşlarken, GCI yalnız geometrik ortalamaya dayandığı için daha basit ve hızlı hesaplanır.

Kullanılmaması gereken durumlar şunlardır. Matris karşılıklı (resiprokal) değilse ya da köşegeni bir değilse GCI anlamsız çıkar; önce matrisin bu temel koşulları sağlaması gerekir. İki öğelik matrislerde (yalnız bir yargı içeren) tutarlılık ölçülemez, çünkü çelişki oluşacak üçüncü bir referans yoktur. Kriter ağırlıkları zaten veriden (Entropy, CRITIC gibi nesnel yöntemlerle) türetilmişse, ortada insan yargısı olmadığından GCI'nin ölçtüğü tutarlılık sorunu da yoktur.

AHP'de kriter ya da seçenek karşılaştırma matrisinin tutarlılığı denetleniyor → GCI

Aynı matrise ikinci bir bağımsız tutarlılık kontrolü isteniyor → HCI

Kriter ağırlıkları veriden türetiliyor, insan yargısı yok → Entropy, CRITIC (tutarlılık sorusu geçersiz)

Tutarlılık değil, üretilmiş bir sıralamanın ağırlık değişimine dayanıklılığı soruluyor → Ağırlık Duyarlılık Analizi

GCI'nin en büyük gücü basitliğidir: yalnız geometrik ortalamaya dayanır, özdeğer hesabı gibi daha ağır bir işleme ihtiyaç duymaz ve büyük matrislerde bile hızlı hesaplanır. Matris büyüklüğüne göre ayarlanmış eşikleri literatürde yaklaşık olarak belirlenmiştir, bu da farklı boyuttaki matrisler için ayrı ayrı yorumlama imkânı verir. En çok sapmaya neden olan yargı çiftini doğrudan işaret edebilir, bu da karar vericiye hangi karşılaştırmayı yeniden düşünmesi gerektiğini somut biçimde gösterir.

Sınırlılıkları ölçünün doğasından gelir. GCI, Saaty'nin klasik tutarlılık oranıyla (CR) aynı ölçekte değildir; 0,1 gibi CR için bilinen bir eşiği GCI'ye uygulamak yanlış sonuç verir (Aguarón ve Moreno-Jiménez, 2003). Sıfır GCI yalnız matematiksel olarak kusursuz tutarlılıkta elde edilir; gerçek insan yargılarında neredeyse hiç görülmez, bu da eşiğin ne kadar "sıkı" tutulacağını tartışmalı hâle getirir. Yöntem yalnız mantıksal tutarlılığı ölçer, yargıların isabetini (gerçek önemi doğru yansıtıp yansıtmadığını) ölçmez; tutarlı ama hatalı bir yargı seti düşük GCI ile birlikte var olabilir. Son olarak, GCI matris büyüklüğüne duyarlıdır; farklı büyüklükteki matrislerin GCI değerleri birbiriyle doğrudan karşılaştırılamaz, yalnız kendi eşikleriyle karşılaştırılabilir.

En sık hata, Saaty'nin CR için kullanılan 0,1 eşiğini GCI'ye uygulamaktır; GCI farklı bir ölçekte çalışır ve kendi eşiklerine (matris büyüklüğüne göre değişen) ihtiyaç duyar (Crawford ve Williams, 1985'in geometrik ortalama temelli yaklaşımı bu farkın kökenidir). İkinci hata, GCI'nin sıfıra yakın çıkmasını yargıların doğruluğunun kanıtı sanmaktır; GCI yalnız iç tutarlılığı, yargıların içeriğini değil biçimini denetler. Üçüncü hata, iki öğelik bir matrise GCI uygulamaya çalışmaktır; tutarlılık kavramı en az üç öğe gerektirir. Dördüncü hata, eşiği aşan bir matriste hangi yargının en çok soruna yol açtığına bakmadan bütün matrisi baştan doldurmaktır; genelde tek bir yargının düzeltilmesi yeterlidir.

Temel ilke şudur:

GCI, yargıların birbiriyle çelişip çelişmediğini gösterir; yargıların isabetli olup olmadığını göstermez, bu ikisi ayrı sorulardır ve rapor bu ayrımı açıkça yapmalıdır.