Harmonik Tutarlılık İndeksi (Harmonic Consistency Index, HCI)

AHP gibi yöntemlerde karar verici, kriterleri ya da seçenekleri ikişer ikişer karşılaştırıp bir yargı matrisi doldurur. Bu matrisin tutarlı olup olmadığını denetlemenin en bilinen yolu Saaty'nin tutarlılık oranıdır (CR); bu oran, matrisin en büyük özdeğerinin kaç olduğuna bakar. Harmonik tutarlılık indeksi (HCI) aynı soruyu sorar ama özdeğeri doğrudan hesaplamak yerine, geometrik ortalama öncelik vektörünü kullanarak bir "yaklaşık en büyük özdeğer" türetir; bu türetmede aritmetik değil harmonik ortalama kullanır. Stein ve Mizzi tarafından 2007'de, Saaty'nin CR'sine hesaplaması daha basit ve bazı durumlarda daha temkinli bir alternatif olarak önerilmiştir.

Bu yöntemin arkasındaki fikir, tutarlılığı tam bir özdeğer hesabına girmeden, ama yine de özdeğer mantığına sadık kalarak yaklaşık biçimde ölçmektir. Tam tutarlı bir matriste, her satırın "gerçek değer bölü öncelik" oranı matrisin boyutuna (kriter sayısına) eşit çıkar. HCI, bu oranların ortalamasını alırken harmonik ortalamayı seçer; harmonik ortalama, aritmetik ortalamadan farklı olarak büyük değerlerin ortalamayı yukarı çekmesine aritmetik ortalama kadar izin vermez, bu yüzden tek bir aşırı tutarsız satırın etkisini daha az abartır ama küçük sapmalara karşı daha duyarlıdır. Felsefi sonucu şudur: HCI, Saaty'nin CR'siyle aynı soruyu (bu matris ne kadar tutarlı) farklı bir ortalama mantığıyla sorar ve genelde CR'den daha temkinli (daha yüksek) bir tutarsızlık sinyali verir.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, öncelik vektörü. GCI'de olduğu gibi, ikili karşılaştırma matrisinin her satırı için geometrik ortalama alınarak bir öncelik vektörü kurulur.

İkinci adım, yaklaşık özdeğer. Matris, kendi öncelik vektörüyle çarpılır; her satır için bu çarpımın o satırın önceliğine oranı hesaplanır. Tam tutarlı bir matriste bu oranların hepsi matrisin boyutuna eşit çıkar. HCI, bu oranların harmonik ortalamasını alarak tek bir "yaklaşık en büyük özdeğer" sayısı üretir.

Üçüncü adım, indeks ve eşik. Bu yaklaşık özdeğer, Saaty'nin CI hesabındakine benzer biçimde matris boyutundan çıkarılıp boyut eksi birle bölünerek HCI'ye dönüştürülür. HCI, alışılmış bir eşikle (yaklaşık 0,1) karşılaştırılır; eşiğin altındaysa matris kabul edilebilir düzeyde tutarlıdır.

Adımların formülü DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

HCI değeri sıfıra ne kadar yakınsa matris o kadar tutarlıdır; sıfır yalnız matematiksel olarak kusursuz tutarlılıkta elde edilir. HCI, Saaty'nin CR'sinden genelde biraz daha yüksek (daha temkinli) çıkar; bu yüzden aynı matris için HCI'nin 0,1 eşiğini aşması, CR'nin aynı eşiği aşmasından daha olasıdır. HCI'nin eşiğin altında çıkması yargıların içeriğinin doğru olduğu anlamına gelmez; yalnız yargıların birbiriyle mantıksal olarak çelişmediğini gösterir. HCI tek başına hangi yargının sorunlu olduğunu söylemez; yaklaşık özdeğerin hesaplanma biçiminden dolayı en sapmalı satırı GCI kadar doğrudan işaret etmez, bu yüzden genelde GCI ile birlikte, ikinci bir bağımsız kontrol olarak kullanılır. Bu nedenle:

"HCI eşiğin altında, matris mükemmel"

yerine:

"HCI eşiğin altındadır, bu da yargıların Saaty'nin CR ölçütüne göre daha temkinli bir tutarlılık testinden de geçtiğini gösterir; yargıların içeriği ayrıca değerlendirilmelidir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Harmonik tutarlılık indeksi kesin veriyle çalışır; girdisi GCI ile aynıdır, karşılıklı (resiprokal) bir ikili karşılaştırma matrisi. Matriste köşegen bir olmalı, a_ij ve a_ji birbirinin çarpımsal tersi olmalıdır ve bütün değerler pozitif olmalıdır. En az üç kriter ya da seçenek gerekir. DecisionMind'da bu yöntemin bir uzantısı yoktur; aynı matrise Geometrik Tutarlılık İndeksi (GCI) de uygulanabilir, ikisi birlikte kullanıldığında birbirini doğrulayan iki bağımsız tutarlılık testi oluşturur.

Bir AHP çalışmasında, Saaty'nin CR'sine ek olarak ya da onun yerine daha basit hesaplanan, biraz daha temkinli bir tutarlılık testi isteniyorsa HCI tam yerindedir. Özellikle GCI ile birlikte kullanıldığında, iki farklı ortalama mantığının (log-kare ve harmonik) aynı sonuca varıp varmadığı görülerek tutarlılık kararına ek güven kazandırılır.

Kullanılmaması gereken durumlar şunlardır. Matris karşılıklı (resiprokal) değilse ya da köşegeni bir değilse HCI anlamsız çıkar. İki öğelik matrislerde tutarlılık ölçülemez. Zaten Saaty'nin CR'si hesaplanmış ve eşiğin altında çıkmışsa, HCI'yi tek başına ek bir gereklilik gibi sunmak (CR yetmezmiş gibi) yanıltıcı olur; HCI bir doğrulama katmanıdır, CR'nin yerini almak zorunda değildir.

AHP'de Saaty'nin CR'sine ek, daha basit hesaplanan bir tutarlılık testi isteniyor → HCI

Aynı matrise ilk ve ana tutarlılık testi (log-kare tabanlı) isteniyor → GCI

Kriter ağırlıkları veriden türetiliyor, insan yargısı yok → Entropy, CRITIC (tutarlılık sorusu geçersiz)

Tutarlılık değil, üretilmiş bir sıralamanın ağırlık değişimine dayanıklılığı soruluyor → Ağırlık Duyarlılık Analizi

HCI'nin en büyük gücü, Saaty'nin özdeğer hesabına ihtiyaç duymadan, yalnız geometrik ortalama ve harmonik ortalama üzerinden aynı mantıkta bir tutarlılık sinyali üretmesidir; bu, büyük matrislerde hesap yükünü azaltır. CR ile aynı ölçekte (matris boyutundan bir çıkarma, boyut eksi bire bölme) rapor edildiği için CR'ye alışkın kullanıcılar tarafından kolayca yorumlanır. GCI ile birlikte kullanıldığında iki bağımsız yöntemin aynı sonuca varması, tutarlılık kararına ek güven verir.

Sınırlılıkları temkinli oluşundan gelir. HCI, aynı matris için genelde Saaty'nin CR'sinden daha yüksek çıkar; bu yüzden CR'nin eşiği geçtiği ama HCI'nin geçmediği durumlar olabilir ve hangi ölçütün esas alınacağı önceden netleştirilmelidir (Stein ve Mizzi, 2007). Yöntem, GCI'nin aksine hangi tek yargının en çok sapmaya neden olduğunu doğrudan göstermez; yalnız matrisin genel tutarlılığını verir. Harmonik ortalama, tek bir aşırı düşük orana karşı aritmetik ortalamadan daha duyarlıdır; bu, bazı durumlarda tek bir küçük yargı hatasının HCI'yi orantısız biçimde yükseltmesine yol açabilir. Son olarak yöntem, GCI gibi, yalnız mantıksal tutarlılığı ölçer, yargıların isabetini ölçmez.

En sık hata, HCI'yi koşulsuz olarak CR'nin yerine kullanmaktır; HCI daha temkinlidir ve CR'nin 0,1 eşiğini geçmeyen bir matris, HCI'nin aynı eşiğini geçebilir, bu bir hesap hatası değil ölçütler arası farktır. İkinci hata, HCI'nin geometrik ortalama öncelik vektörüne dayandığını unutup onu doğrudan özdeğer yöntemiyle (Saaty'nin kendi CR hesabıyla) hesaplanmış bir sayıymış gibi karşılaştırmaktır. Üçüncü hata, HCI eşiğin altında çıktığında GCI'ye hiç bakmamaktır; iki ölçüt farklı matematiksel mantık kullandığından birbirini tamamlar, biri diğerinin yerini almaz. Dördüncü hata, HCI'nin düşük çıkmasını yargıların doğruluğunun kanıtı saymaktır.

Temel ilke şudur:

HCI, Saaty'nin CR'sine benzer ama daha temkinli bir tutarlılık testidir; GCI ile birlikte okunduğunda tutarlılık kararına güven katar, tek başına yargıların doğruluğuna dair bir şey söylemez.