Koczkodaj Tutarsızlık İndeksi (K)

AHP ve benzeri yöntemlerde karar verici, kriterleri ya da seçenekleri ikişer ikişer karşılaştırır: "A, B'den kaç kat önemli?" Bu karşılaştırmalar bir tabloda (ikili karşılaştırma matrisi) toplanır ve tablodan ağırlıklar türetilir. Sorun şudur: karar verici tutarsız yargılarda bulunabilir. A, B'den 3 kat, B de C'den 2 kat önemliyse, A'nın C'den yaklaşık 6 kat önemli çıkması beklenir; karar verici buraya 8 ya da 2 yazarsa tablo çelişkilidir. Koczkodaj tutarsızlık indeksi bu çelişkiyi ölçen bir tanı aracıdır; sıralama ya da ağırlık üretmez, yalnızca "bu tabloya güvenilir mi" sorusuna sayısal bir cevap verir. Waldemar W. Koczkodaj tarafından 1993'te önerilmiştir ve Saaty'nin klasik Tutarlılık Oranından (CR) farklı bir mantıkla çalışır.

Saaty'nin CR'si tüm tablodaki sapmaların bir ortalamasını alır; genel görünüm iyiyse tek bir kötü karşılaştırma gözden kaçabilir. Koczkodaj'ın fikri tam tersidir: ortalamaya değil en kötü üçlüye bakılmalıdır, çünkü karar vericinin bir tek çelişkili yargısı bile türetilen ağırlıkları sessizce bozabilir. Yöntem, üç karşılaştırmadan oluşan her mümkün grubu (üçlü) tek tek denetler ve tablodaki en büyük çelişkiyi rapor eder. Bu bir tutarlılık ölçütüdür, telafi edici bir sıralama yöntemi değildir; tablonun genelini değil en zayıf noktasını gösterir. Felsefi sonucu şudur: iyi bir ortalama, kötü bir üçlüyü aklamaz.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, üçlüleri çıkarmak. Tablodaki her üç kriterlik grup (üçlü) için ilgili üç karşılaştırma değeri alınır: birincinin ikinciyle, birincinin üçüncüyle ve ikincinin üçüncüyle karşılaştırması. n kriter varsa mümkün üçlü sayısı hızla artar; üç kriterde tek üçlü, dört kriterde dört üçlü vardır.

İkinci adım, her üçlünün çelişkisini ölçmek. Üç karşılaştırma tutarlıysa, birinci ile üçüncü arasındaki değer, birinci ile ikinci ve ikinci ile üçüncü değerlerinin çarpımına eşit çıkmalıdır. Koczkodaj bu beklenen değerden sapmayı iki yönden hesaplar: gerçek değer beklenenden ne kadar büyükse ve beklenen değer gerçek değerden ne kadar büyükse, ikisinin küçüğü o üçlünün çelişki puanıdır. Küçük olan alınır çünkü tutarsızlık her iki yönde de aynı ölçekte sayılmamalıdır.

Üçüncü adım, en kötüyü seçmek. Tablodaki tüm üçlülerin çelişki puanları hesaplandıktan sonra bunların en büyüğü, yani en çelişkili üçlü, Koczkodaj indeksi K olarak raporlanır. Alışılmış eşik 0,10'dur: K bu eşiğin altındaysa tablo kabul edilebilir sayılır, üstündeyse ilgili üçlünün gözden geçirilmesi önerilir.

Adımların formülleri, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

K, sıfıra ne kadar yakınsa tablo o kadar tutarlıdır; sıfır, hiçbir üçlüde çelişki yok demektir. K büyüdükçe en az bir üçlüde ciddi bir çelişki var demektir. K bir yüzde değildir, "yargıların yüzde şu kadarı yanlış" anlamına gelmez; yalnızca en kötü üçlünün beklenen değerden sapma oranını gösterir. K'nın 0,10'un altında çıkması tablonun her yerinin kusursuz olduğu anlamına gelmez, yalnızca en zayıf noktasının kabul edilebilir sınırlar içinde kaldığı anlamına gelir. Beş kriterden fazla tabloda K yalnızca en kötü üçlüyü gösterdiği için, diğer üçlülerin de tek tek incelenmesi gerekir.

Bu nedenle:

"K, 0,10'un altında çıktığı için Saaty'nin Tutarlılık Oranı (CR) da otomatik olarak kabul edilebilir demektir"

yerine:

"K ve CR farklı ölçütlerdir; K en kötü üçlüye, CR ortalama sapmaya bakar. K'nın 0,10'un altında olması CR hakkında bir şey söylemez, ikisi ayrı ayrı hesaplanıp ayrı ayrı okunmalıdır"

biçiminde yazmak doğrudur.

Koczkodaj indeksi kesin (crisp) veriyle çalışır: girdi, köşegeni 1 olan ve karşılıklı hücreleri birbirinin tersi olan (A'nın B'ye göre değeri 3 ise B'nin A'ya göre değeri 1/3) kare bir ikili karşılaştırma tablosudur. DecisionMind'da bu yöntemin şu an bulanık, gri ya da başka bir veri türünde uzantısı bulunmuz; temel biçimiyle tek başına çalışır. Elinizde en az üç kriter ya da seçenek arasında yapılmış ikili karşılaştırmalar olmalıdır; üçten az öğe varsa üçlü oluşmaz ve K tanımsız kalır. Önerilen büyüklük üç ile dokuz öğe arasıdır; öğe sayısı arttıkça denetlenecek üçlü sayısı hızla çoğalır. Yöntem ağırlık üretmez, yalnızca girdi tablosunun güvenilirliğini denetler.

Kriterleri ya da seçenekleri ikili karşılaştırmayla puanlıyorsanız ve bu tablodan ağırlık türetmeden önce en kötü çelişkiyi görmek istiyorsanız Koczkodaj indeksi uygundur; özellikle karar vericinin hangi karşılaştırmayı yeniden gözden geçirmesi gerektiğini işaret ettiği için elde tek bir "en kötü üçlü" bilgisiyle kalırsınız. Elinizde ikili karşılaştırma tablosu yoksa, doğrudan sıralama ya da puanlama verisi varsa bu yöntem uygun değildir; tutarlılık denetimi ikili karşılaştırmaya özgüdür. Tablonun genel ortalama tutarlılığını tek sayıyla özetlemek istiyorsanız da bu yöntem tek başına yeterli değildir; K yalnızca en kötüyü gösterir.

İkili karşılaştırma tablosu var, en kötü çelişkiyi bulup düzeltmek gerekiyor → Koczkodaj K

Aynı tablonun genel ortalama tutarlılığı isteniyor → Saaty Tutarlılık Oranı ya da geometrik/harmonik tutarlılık indeksleri

Elde ikili karşılaştırma yok, doğrudan sıralama ya da puan var → tutarlılık denetimi değil sıralama ya da ağırlıklandırma yöntemine geçilir

Üçten az kriter ya da seçenek var → üçlü oluşmaz, K hesaplanamaz

Koczkodaj indeksinin en büyük üstünlüğü basitliğidir: Saaty'nin CR'si gibi özdeğer hesabına ya da rastgele tutarlılık tablolarına ihtiyaç duymaz, doğrudan üçlüler üzerinden hesaplanır. En kötü üçlüyü tek tek işaret ettiği için karar vericiye "hangi karşılaştırmayı yeniden düşün" diye somut bir yönlendirme verir; CR'nin tek bir ortalama sayısı bu ayrıntıyı vermez. Üç ve üzeri her boyutta aynı mantıkla çalışır, ek varsayım gerektirmez.

Sınırlılıkları da bu yapıdan gelir. K yalnızca en kötü üçlüyü raporladığı için, birçok üçlüde orta düzeyde ama sayıca çok çelişki varsa bunların toplam etkisini göstermez; tam tabloyu görmek isteyen kullanıcı tüm üçlüleri tek tek incelemelidir (Brunelli, 2017). Kriter sayısı arttıkça denetlenecek üçlü sayısı hızla büyür, bu da büyük tablolarda hesap ve yorumlama yükünü artırır. Kabul eşiği olan 0,10, Saaty'nin CR eşiği gibi bir kural olarak benimsenmiştir; farklı tutarlılık indeksleri farklı eşikler önerir ve hangisinin "doğru" olduğu üzerine literatürde tartışma sürer (Brunelli, 2018).

En sık hata, K ile Saaty'nin CR'sini birbirinin yerine kullanmaktır; ikisi farklı hesaplama mantığına sahiptir ve 0,10 eşiği ikisinde de kullanılsa bile aynı şeyi ölçmezler. İkinci hata, dört ve üzeri kriterli tablolarda yalnızca K'ya bakıp diğer üçlüleri hiç incelememektir; K en kötüyü gösterir, ama ikinci ve üçüncü en kötü üçlüler de revizyon gerektirebilir. Üçüncü hata, tablo hazırlanırken köşegenin 1 ve karşılıklı hücrelerin birbirinin tersi olduğunu kontrol etmeden indeksi hesaplamaktır; bu varsayım bozulursa K anlamsız çıkar.

Temel ilke şudur:

K, tabloyu değil tablonun en zayıf noktasını gösterir; sıfıra yakın bir K, matrisin her yerinin kusursuz olduğu değil, en kötü üçlünün kabul edilebilir sınırlar içinde kaldığı anlamına gelir.