Chebyshev Uzaklığı (En Kötü Ölçüt Farkı)

Bir karar yöntemi bir seçeneğin idealden ne kadar uzak olduğunu ölçmek istediğinde, bu uzaklığı nasıl hesaplayacağını seçmek zorundadır. Chebyshev uzaklığı bu seçeneklerden biridir: iki nokta arasındaki her ölçütteki farkı tek tek bulur ve bunların yalnız en büyüğünü uzaklık olarak kabul eder, diğer tüm farkları göz ardı eder. Adını 19. yüzyıl matematikçisi Pafnuti Chebyshev'den alan bu ölçüm, matematikte "L-sonsuz normu" olarak da bilinir ve satranç tahtasında bir taşın bir kareden diğerine kaç hamlede gidebileceğini ölçen "satranç tahtası uzaklığı" ile aynı formüle dayanır (Rosenfeld ve Pfaltz, 1968). Çok kriterli karar analizine bu ölçütü taşıyan çalışmalardan biri Yu'nun (1973) grup karar problemlerinde uzlaşma çözümleri üzerine yaptığı çalışmadır; VIKOR yöntemi bu uzaklığı "bireysel pişmanlık" bileşeninin (R değeri) hesabında doğrudan kullanır (Opricovic ve Tzeng, 2004). Chebyshev uzaklığı tek başına bir karar yöntemi değildir; TOPSIS, VIKOR gibi uzaklık tabanlı yöntemlerin içinde Öklid uzaklığına bir alternatif olarak kullanılan bir yapı taşıdır.

Chebyshev uzaklığının arkasındaki soru şudur: "İki seçenek arasındaki fark, en kötü durumdaki tek bir ölçütle mi belirlenmeli, yoksa tüm ölçütlerin toplam katkısıyla mı?" Chebyshev uzaklığı birinci yolu seçer. Bir seçenek dokuz ölçütte ideale çok yakın olsa bile, onuncu ölçütte büyük bir sapma varsa, Chebyshev uzaklığı yalnız bu onuncu sapmayı görür; diğer dokuz ölçütteki yakınlık uzaklığı hiç değiştirmez. Bu, "en zayıf halka zinciri belirler" mantığına dayanan, tam anlamıyla telafisiz (eleyici) bir bakış açısıdır. Öklid uzaklığının aksine, bir ölçütteki kötü performans başka bir ölçütteki iyi performansla asla dengelenmez.

İşlem tek adımdan oluşur.

Tek adım, en büyük farkı bulma. İki seçenek (ya da bir seçenekle ideal nokta) arasında her ölçütte ayrı ayrı fark hesaplanır, bu farkların mutlak değerleri alınır ve en büyüğü uzaklık olarak seçilir. Diğer tüm ölçüt farkları hesaba hiç girmez.

Bu adım, bir sıralama yönteminin (TOPSIS, VIKOR gibi) ideal ve anti-ideal noktalara uzaklık hesabında Öklid uzaklığının yerine konabilir. Adımların formülleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Chebyshev uzaklığı, iki seçenek arasındaki en kötü tek ölçüt farkını verir; toplam bir farklılık ölçüsü değildir. Küçük bir Chebyshev uzaklığı "bu iki seçenek her ölçütte birbirine yakın" demek değildir, yalnız "en çok ayrıştıkları ölçütte bile aradaki fark küçük" demektir. Aynı şekilde büyük bir Chebyshev uzaklığı, seçeneklerin çoğu ölçütte benzer olup yalnız tek bir ölçütte çok ayrışması durumunda da ortaya çıkabilir. Bu değer başka bir seçenek kümesinden ya da başka bir uzaklık ölçüsünden (Öklid, Manhattan) elde edilen bir değerle doğrudan karşılaştırılamaz.

Bu nedenle:

"Chebyshev uzaklığı küçük, yani bu iki seçenek genel olarak birbirine çok benziyor"

yerine:

"Bu iki seçeneğin en çok ayrıştığı tek ölçütteki fark küçüktür; diğer ölçütlerdeki benzerlik ya da farklılık bu sayıya yansımamıştır"

biçiminde yazmak doğrudur.

Kesin (crisp) veriyle çalışır: her hücrede tek bir sayı, boş hücre yok. Genellikle bir sonraki adımda kullanılacak biçimde önce normalize edilmiş ve ağırlıklandırılmış bir tablo üzerinde hesaplanır; ham veride doğrudan kullanılırsa büyük birimli tek bir ölçüt (örneğin fiyat) tüm uzaklığı tek başına belirler.

Bu bir yapı taşı kartıdır; DecisionMind'da kendi başına bir uzantısı (bulanık, gri, sezgisel sürümü) yoktur. Aynı işi farklı mantıkla yapan beş uzaklık ölçüsü daha vardır: Öklid uzaklığı, Manhattan uzaklığı, Minkowski uzaklığı, Hamming uzaklığı ve Mahalanobis uzaklığı; her biri ayrı bir yapı taşı kartında anlatılır. En az iki seçenek (ya da bir seçenek ve bir referans nokta) ve en az bir ölçüt yeterlidir.

Chebyshev uzaklığı, en kötü durumun (worst-case) belirleyici olduğu, bir ölçütteki büyük sapmanın diğer ölçütlerle asla telafi edilmemesi gerektiği durumlarda uygundur. VIKOR gibi hem toplam hem en kötü durumu birlikte gözeten yöntemlerde, en kötü durum bileşenini hesaplamak için doğrudan kullanılır.

Kullanılmaması gereken durum, tüm ölçütlerin toplam katkısının önemli olduğu ve bir ölçütteki hafif bir sapmanın diğer ölçütlerdeki genel performansı gölgelememesi gerektiği durumdur; böyle bir durumda Chebyshev uzaklığı bilgi kaybına yol açar, çünkü en kötü ölçüt dışındaki tüm veriyi göz ardı eder.

En kötü ölçüt sapması belirleyici, telafi istenmiyor → Chebyshev uzaklığı

Tüm ölçütlerin toplam katkısı önemli, telafi kabul ediliyor → Öklid uzaklığı

Ölçütler arası ağırlıklı mutlak fark toplamı isteniyor → Manhattan uzaklığı

Ölçütler arasında korelasyon var ve bu hesaba katılmalı → Mahalanobis uzaklığı

Chebyshev uzaklığının en önemli üstünlüğü hesabının çok basit ve doğrudan yorumlanabilir olmasıdır: sonuç, doğrudan "en kötü ölçütteki fark nedir" sorusunun cevabıdır. Aşırı iyi performans gösteren ölçütlerin, kötü performans gösteren bir ölçütü maskelemesini engeller; bu, güvenlik ya da eşik odaklı kararlarda önemli bir özelliktir. Hesap yükü çok küçüktür ve büyük tablolar için de aynı hızda çalışır.

Sınırlılıkları aynı özellikten doğar. Birincisi, en büyük fark dışındaki tüm bilgi hesaba katılmaz; iki seçenek arasında dokuz ölçütte büyük fark, bir ölçütte küçük fark varsa, Chebyshev uzaklığı yalnız en büyük dokuz farktan birini görür ve diğer sekizini yok sayar. İkincisi, tek bir ölçütteki ölçüm hatası ya da aykırı değer, tüm uzaklık hesabını tek başına belirleyebilir; bu, yönteme karşı özel bir kırılganlık yaratır. Üçüncüsü, aynı Chebyshev uzaklığına sahip iki seçenek çok farklı profillere sahip olabilir, bu da yorumlamayı zorlaştırır. Dördüncüsü, "Chebyshev uzaklığı" adıyla anılan MCDM'e özgü tek bir kurucu makale yoktur; kavram matematikten (Rosenfeld ve Pfaltz, 1968) ödünç alınmış ve karar analizine sonradan taşınmıştır (Yu, 1973; Opricovic ve Tzeng, 2004).

En yaygın hata, Chebyshev uzaklığını Öklid uzaklığıyla aynı biçimde yorumlamak, yani "küçük uzaklık, genel olarak benzer" demektir; oysa Chebyshev uzaklığı yalnız tek bir ölçütü görür. İkinci hata, ham (normalize edilmemiş) veri üzerinde doğrudan Chebyshev uzaklığı hesaplamaktır; büyük birimli tek bir ölçüt (örneğin milyon TL cinsinden fiyat) diğer tüm ölçütleri anlamsız kılar ve uzaklığı tek başına belirler. Üçüncü hata, Chebyshev uzaklığının hangi ölçütten geldiğini raporlamadan yalnız sayıyı vermektir; karar verici hangi ölçütün belirleyici olduğunu bilmeden bu sayıyı yorumlayamaz.

Temel ilke şudur:

Chebyshev uzaklığı yalnız en kötü tek ölçüt farkını ölçer; hangi ölçütün bu farkı belirlediği açıkça raporlanmazsa sayı tek başına yanıltıcıdır.