Öklid Uzaklığı (Düz Çizgi Uzaklığı)

Bir karar yöntemi bir seçeneğin idealden ne kadar uzak olduğunu tek bir sayıyla özetlemek istediğinde, en yaygın seçilen yol Öklid uzaklığıdır: günlük hayatta cetvelle ölçtüğümüz düz çizgi uzaklığının çok boyutlu hâlidir. İki nokta arasındaki her ölçütteki farkın karesi alınır, bu kareler toplanır ve toplamın karekökü hesaplanır. Bu formül Hwang ve Yoon tarafından 1981'de TOPSIS'in ideal ve anti-ideal noktalara uzaklık hesabında kullanılmış ve o tarihten beri çok kriterli karar analizinde en çok başvurulan uzaklık ölçüsü olmuştur. Öklid uzaklığı tek başına bir karar yöntemi değildir; TOPSIS başta olmak üzere birçok uzaklık tabanlı sıralama yönteminin içinde kullanılan bir yapı taşıdır.

Öklid uzaklığının arkasındaki soru şudur: "İki seçenek arasındaki fark, tüm ölçütlerin ortak katkısıyla mı belirlenmeli?" Öklid uzaklığı bu soruya evet der. Her ölçütteki fark karesi alınarak büyütülür, sonra hepsi toplanır; bu, büyük farkların küçük farklara göre orantısız biçimde daha ağır basmasını sağlar ama hiçbir ölçüt tek başına belirleyici olmaz. Bu, geometrik bir bakış açısıdır: her seçenek çok boyutlu bir uzayda bir nokta, uzaklık da bu iki nokta arasındaki düz çizginin uzunluğudur. Bunun bir felsefi sonucu vardır: Öklid uzaklığı telafi edicidir. Bir ölçütteki büyük bir fark, birçok küçük ölçütteki toplam benzerlikle "dengelenir", çünkü hesap tüm farkları birlikte harmanlar.

İşlem tek adımdan oluşur.

Tek adım, kareli toplamın karekökü. İki nokta arasında her ölçütte fark hesaplanır, bu farkların karesi alınır, kareler toplanır ve toplamın karekökü bulunur. Sonuç, iki noktanın çok boyutlu uzaydaki düz çizgi uzaklığıdır.

Bu adım TOPSIS'in dördüncü adımıdır: ideal ve anti-ideal noktalara uzaklık bu formülle hesaplanır. Adımların formülleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Öklid uzaklığı, iki seçenek arasındaki toplam farkın tek bir sayıya indirgenmiş hâlidir; hangi ölçütün bu farka ne kadar katkı verdiğini göstermez. Küçük bir Öklid uzaklığı "bu iki seçenek her ölçütte benzer" anlamına gelmeyebilir; birkaç ölçütteki büyük fark, diğer ölçütlerdeki benzerlikle sayısal olarak "dengelenmiş" olabilir. Bu değer başka bir seçenek kümesinden elde edilen bir Öklid uzaklığıyla doğrudan karşılaştırılamaz, çünkü ölçek seçenek kümesinin kendi değerlerinden türetilir.

Bu nedenle:

"Öklid uzaklığı küçük, yani bu iki seçenek her ölçütte birbirine yakın"

yerine:

"Bu iki seçeneğin ölçütler arası toplam farkı küçüktür; bu, tek bir ölçütteki büyük farkın diğerleriyle dengelenmiş olabileceği anlamına da gelebilir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Kesin (crisp) veriyle çalışır: her hücrede tek bir sayı, boş hücre yok. Genellikle normalize edilmiş ve ağırlıklandırılmış bir tablo üzerinde hesaplanır; ham veride doğrudan kullanılırsa büyük birimli bir ölçüt (örneğin milyon TL cinsinden fiyat) uzaklığı tek başına domine eder (Milani ve ark., 2005).

Bu bir yapı taşı kartıdır; DecisionMind'da kendi başına bir uzantısı (bulanık, gri, sezgisel sürümü) yoktur. Aynı işi farklı mantıkla yapan beş uzaklık ölçüsü daha vardır: Chebyshev uzaklığı, Manhattan uzaklığı, Minkowski uzaklığı, Hamming uzaklığı ve Mahalanobis uzaklığı; her biri ayrı bir yapı taşı kartında anlatılır. En az iki seçenek (ya da bir seçenek ve bir referans nokta) ve en az bir ölçüt yeterlidir.

Öklid uzaklığı, ölçütler arasında bir telafi ilişkisinin kabul edildiği, bir ölçütteki zayıflığın başka bir ölçütteki güçle dengelenebileceği durumlarda uygundur. TOPSIS gibi yaygın kullanılan yöntemlerle birlikte en çok sınanmış uzaklık ölçüsüdür; ölçütler birbirinden bağımsız kabul edildiğinde iyi çalışır.

Kullanılmaması gereken durum, bir ölçütte asla taviz verilemeyeceği, en kötü tek durumun belirleyici olması gerektiği durumdur; Öklid uzaklığı bu tür bir eşiği kendiliğinden uygulamaz, çünkü tüm ölçütlerin katkısını birlikte harmanlar. Ölçütler birbirine güçlü biçimde bağlıysa (biri artınca diğeri de artıyorsa) bu bağ önce ele alınmalıdır; Öklid uzaklığı ölçütleri bağımsız sayar.

Ölçütler arası telafi kabul ediliyor, toplam fark önemli → Öklid uzaklığı

En kötü tek ölçüt sapması belirleyici, telafi yok → Chebyshev uzaklığı

Ölçütler arası mutlak farkların ağırlıklı toplamı isteniyor → Manhattan uzaklığı

Ölçütler arasında korelasyon var ve bu hesaba katılmalı → Mahalanobis uzaklığı

Öklid uzaklığının en önemli üstünlüğü sezgisel olmasıdır; günlük hayattaki düz çizgi uzaklığı kavramının doğrudan uzantısıdır ve karar vericiye kolay anlatılır. TOPSIS başta olmak üzere en çok uygulanan ve sınanan uzaklık ölçüsüdür (Behzadian ve ark., 2012, TOPSIS kartında anılmıştır). Hesap yükü küçüktür, büyük tablolarda da aynı hızda çalışır. Büyük farkları küçük farklara göre orantısız biçimde ağırlıklandırdığı için (kare alma nedeniyle) belirgin sapmaları görünür kılar.

Sınırlılıkları vardır. Birincisi, tam telafi varsayımı: bir ölçütteki ciddi zayıflık başka ölçütlerle sayısal olarak örtülebilir, bu bazı karar bağlamlarında istenmeyen bir özelliktir. İkincisi, ölçütleri bağımsız sayar; birbirini etkileyen ölçütlerde bu bağıntı örtük olarak yanlış ağırlıklandırmaya yol açar. Üçüncüsü, seçenek kümesi değiştiğinde (yeni seçenek eklenip çıkarıldığında) ideal ve anti-ideal noktalar kayar, bu da uzaklıkları ve dolayısıyla sıralamayı değiştirebilir; bu durum TOPSIS'te sıra tersinmesi olarak ayrıntılı incelenmiştir (García-Cascales ve Lamata, 2012). Dördüncüsü, ölçüm birimleri ya da dağılım genişliği çok farklıysa Öklid uzaklığı yanlış ölçütü öne çıkarabilir; bu yüzden normalizasyon adımı Öklid uzaklığından önce mutlaka uygulanmalıdır.

En yaygın hata, Öklid uzaklığını normalize edilmemiş ham veri üzerinde hesaplamaktır; büyük birimli bir ölçüt (fiyat gibi) diğer tüm ölçütleri anlamsız kılar. İkinci hata, küçük bir Öklid uzaklığını "her ölçütte benzer" diye yorumlamak, oysa bu toplam bir ölçüdür ve tek tek ölçüt farklarını gizleyebilir. Üçüncü hata, Öklid uzaklığıyla elde edilen bir sıralamayı, bir ölçütte asla taviz verilemeyecek bir durumda kullanmaktır; bu durumda telafi edici Öklid uzaklığı yerine Chebyshev gibi eleyici bir uzaklık ölçüsü gerekir. Dördüncü hata, analiz bittikten sonra seçenek eklemek ve ideal noktanın kaymasıyla sıranın değişmesine şaşırmaktır.

Temel ilke şudur:

Öklid uzaklığı tüm ölçütlerin toplam katkısını tek bir sayıya indirger; bu sayı telafi kabul ediyorsa doğru araçtır, bir ölçütte taviz verilemiyorsa değildir.