MANHATTAN UZAKLIĞI (Manhattan Distance)

Manhattan uzaklığı, elinizde iki sayısal vektör (bir seçenek ile bir ideal nokta, ya da iki seçenek) olduğunda aralarındaki toplam farkı veren bir uzaklık ölçütüdür. Girdisi eş uzunluklu iki sayı dizisidir, çıktısı tek bir sayıdır: her kriterdeki mutlak farkın toplamı. TOPSIS, CODAS, MABAC gibi sıralama yöntemlerinin "seçenek ideale ne kadar uzak" adımını besleyen bir yapı taşıdır; kendi başına bir sıralama yöntemi değildir.

Adı, bir şehrin ızgara biçimindeki sokaklarında köşegen geçmeden, yalnız yatay ve dikey ilerleyerek alınan yoldan gelir; bu geometri "taksi geometrisi" olarak Krause (1973) tarafından tanıtılmıştır. Matematiksel olarak Manhattan uzaklığı, Minkowski uzaklık ailesinin p=1 özel durumudur; genel Lp normunun köklerini Minkowski'nin (1910) çalışması oluşturur. CODAS gibi bazı yöntemler Manhattan uzaklığını, Öklid uzaklığının yanında ikinci bir ölçüt olarak kullanır.

Manhattan uzaklığının arkasındaki fikir şudur: bir seçenek ile ideal arasındaki toplam fark, her kriterdeki sapmanın basit toplamıdır, ne fazlası ne azı. Öklid uzaklığı sapmaları kareleyip sonra kökünü alarak büyük sapmaları orantısız biçimde büyütür; Manhattan bunu yapmaz, her sapmayı olduğu gibi, doğrusal biçimde sayar.

Bu seçimin bir sonucu vardır: Manhattan uzaklığı aykırı (uç) değerlere karşı Öklid uzaklığından daha dayanıklıdır. Bir kriterde çok kötü, diğerlerinde iyi olan bir seçenek, Öklid uzaklığında o tek kötü kriter yüzünden ağır biçimde cezalandırılır; Manhattan uzaklığında aynı sapma yalnız kendi payı kadar toplama katılır. Karar vericinin sorusu "toplam sapma ne kadar, hangi kriterden geldiği önemli değil" ise Manhattan doğru araçtır; "tek bir kriterdeki büyük başarısızlık diğer her şeyi gölgede bırakmalı" ise Öklid ya da yüksek p'li bir Minkowski uzaklığı daha uygundur.

Hesap tek bir adımdan oluşur.

Tek adım, mutlak farkları toplama. İki vektör aynı sırada yan yana konur; her kriterde iki değer arasındaki fark alınır, işaretinden bağımsız olarak (mutlak değer) kaydedilir. Bu mutlak farklar toplanır ve sonuç Manhattan uzaklığıdır. Üç kriterde sapmalar 2, 2 ve 30 ise toplam 34'tür; sapmalar 12, 12 ve 12 ise toplam 36'dır ve daha yayılı olan sapma toplamı, tek noktada yoğunlaşan sapmadan burada biraz daha büyük çıkar. Sapmaların nasıl dağıldığı Öklid uzaklığında çok daha keskin biçimde sonucu değiştirir; ikinci vaka bunu sayılarla gösterir.

Adımın formülü ve DecisionMind'daki uygulaması yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Manhattan uzaklığı, iki seçenek arasındaki toplam mutlak sapmadır; başka bir şey söylemez. Sıfır olması iki vektörün birebir aynı olduğu, büyük bir değer ise toplam sapmanın büyük olduğu anlamına gelir. Bu sayı yüzde değildir, olasılık değildir ve yalnız aynı kriter kümesi ve aynı ölçekle kurulmuş karşılaştırmalar arasında anlamlıdır; kriterler farklı birimlerdeyse (TL ile gün gibi) önce ortak bir ölçeğe (normalizasyon) getirilmeleri gerekir, aksi hâlde büyük sayılı bir kriter toplamı tek başına domine eder.

Manhattan uzaklığının bir diğer özelliği, sapmanın nereden geldiğini gizlemesidir: toplam 0,37 olan bir sapma, tek bir kriterden de gelebilir, üç kriterin eşit paylaşmasından da. Bu yüzden ev sahibi yöntemde Manhattan uzaklığı tek başına raporlanmaz; hangi kriterlerin sapmaya en çok katkı yaptığı ayrıca gösterilmelidir.

Bu nedenle:

"Manhattan uzaklığı 0,37, yani bu seçenek idealin yüzde 63'ü kadar iyi"

yerine:

"Toplam mutlak sapma 0,37'dir; bu sapmanın büyük kısmı hangi kriterden geldiği ayrıca belirtilmelidir, çünkü toplam tek başına bunu göstermez"

biçiminde yazmak doğrudur.

Manhattan uzaklığı kesin (crisp) sayısal veriyle çalışır. DM3'te bu adla yalnız temel Manhattan üyesi bulunur, ayrı bir uzantısı yoktur. Elinizde şunlar olmalı: iki eş uzunluklu sayısal vektör, tercihen zaten aynı ölçeğe getirilmiş (normalize edilmiş) değerler, çünkü Manhattan uzaklığı kendisi bir ölçeklendirme yapmaz. En az iki kriter, iki seçenek yeterlidir; üst sınır yoktur, üç ile on iki kriter arası rahat okunur bir tablo verir. Manhattan ağırlık üretmez, ağırlık istemez; ağırlıklandırma ev sahibi yöntemin (örneğin TOPSIS'in ikinci adımının) işidir ve genelde Manhattan uzaklığı hesaplanmadan önce uygulanır.

Kriterleriniz sayısaldır, ortak bir ölçeğe getirilmiştir ve aykırı bir kriterin tek başına sonucu domine etmesini istemiyorsanız Manhattan uygun bir seçimdir. CODAS gibi bazı ev sahibi yöntemlerde Manhattan, Öklid uzaklığının yanında ikinci bir ölçüt olarak otomatik devreye girer; bu durumda ayrıca seçilmesi gerekmez, yöntemin kendi tanımının parçasıdır.

Kullanılmaması gereken durum, bir kriterdeki büyük bir başarısızlığın karar için orantısız biçimde ağır basması gerektiği durumdur; bu durumda Öklid uzaklığı ya da yüksek p'li bir Minkowski uzaklığı daha uygundur, çünkü bunlar büyük sapmaları kareleyerek (ya da daha yüksek kuvvetle) büyütür. Kriterler ikili ya da kategorikse Manhattan değil Hamming uzaklığı kullanılmalıdır. Kriterler arasında güçlü bir ilişki (korelasyon) varsa ve bu ilişkinin hesaba katılması gerekiyorsa Mahalanobis uzaklığı daha uygundur.

Sayısal veri, aykırı değerlere karşı dayanıklılık isteniyor → Manhattan

Tek bir kriterdeki büyük sapma cezalandırılmalı → Öklid ya da yüksek p'li Minkowski

Kriterler ikili/kategorik → Hamming

Kriterler birbiriyle ilişkili (korelasyonlu) → Mahalanobis

CODAS gibi Öklid ile birlikte ikinci ölçüt olarak zaten kullanılıyor → ayrıca seçim gerekmez

Manhattan uzaklığının en önemli üstünlüğü aykırı değerlere karşı dayanıklılığıdır: bir kriterdeki tek büyük sapma, toplamı Öklid uzaklığındaki kadar sert biçimde büyütmez, çünkü sapmalar kareye değil doğrudan toplama girer. Hesabı basittir, karar vericiye "toplam mutlak fark" olarak kolayca anlatılır. Hesap yükü kriter ve seçenek sayısı büyüdükçe doğrusal artar, büyük tablolarda hızlı çalışır. CODAS'ta olduğu gibi Öklid uzaklığıyla birlikte kullanıldığında, iki ölçütün farklı hassasiyetleri (biri kareli, biri doğrusal) birbirini tamamlar.

Sınırlılıkları tanımından gelir. Birincisi, sapmanın nereden geldiğini gizler; aynı toplam, çok farklı sapma örüntülerinden gelebilir ve bu örüntü ayrıca incelenmedikçe görünmez. İkincisi, kriterler farklı ölçeklerdeyse (biri 0-1, biri 0-1000) toplam büyük ölçekli kriter tarafından domine edilir; önce normalizasyon şarttır. Üçüncüsü, farklı uzaklık ölçütleri aynı tabloya farklı sıra verebilir (Chen ve Tsao, 2007); Manhattan seçmek de bir karardır ve raporda gerekçelenmelidir. Dördüncüsü, kriterler arasındaki ilişkiyi (korelasyonu) hesaba katmaz; birbirini etkileyen iki kriterin sapması bağımsızmış gibi ayrı ayrı toplanır. Beşincisi, aykırı değerlere dayanıklı olması bazen istenmeyen bir özelliktir: gerçekten ciddi bir başarısızlığın fark edilmesi gerektiği durumlarda bu dayanıklılık sinyali zayıflatır.

En yaygın hata, ham (normalize edilmemiş) verilere doğrudan Manhattan uzaklığı uygulamaktır; farklı ölçekli kriterler toplandığında büyük sayılı kriter toplamı tek başına belirler. İkinci hata, Manhattan ve Öklid uzaklıklarının her zaman aynı sırayı vereceğini varsaymaktır; sapmalar tek bir kriterde yoğunlaşmışsa iki ölçüt farklı seçenekleri öne çıkarabilir. Üçüncü hata, CODAS gibi Öklid ile Manhattan'ı birlikte kullanan bir yöntemde, ikinci ölçütün ne zaman devreye girdiğini (eşik değeri) bilmeden sonucu yorumlamaktır; iki ölçüt arasındaki geçiş kuralı yöntemin kendi tanımının parçasıdır ve göz ardı edilemez. Dördüncü hata, toplam sapmayı "ortalama sapma" gibi okumaktır; toplam, kriter sayısına bölünmedikçe ortalama değildir ve farklı kriter sayılı tablolar arasında karşılaştırılamaz.

Temel ilke şudur:

Manhattan uzaklığı toplam sapmayı doğrusal olarak sayar ve büyük tek bir sapmayı diğerleriyle eşit ağırlıkta tutar; bu tam olarak istediğiniz şey değilse Öklid ya da başka bir p değeriyle Minkowski uzaklığı gerekir.