MINKOWSKI UZAKLIĞI (Minkowski Distance)

Minkowski uzaklığı, iki sayısal vektör arasındaki farkı tek bir p parametresiyle ölçen genelleştirilmiş bir uzaklık ölçütüdür. Girdisi eş uzunluklu iki vektör ve bir p sayısıdır (p birden büyük ya da eşit olmalıdır), çıktısı tek bir sayıdır. Ayrı bir yöntem gibi görünse de aslında bir ailedir: p=1 verildiğinde Manhattan uzaklığına, p=2 verildiğinde Öklid uzaklığına, p sonsuza yaklaştıkça Chebyshev (en büyük fark) uzaklığına eşit olur. TOPSIS, VIKOR gibi sıralama yöntemlerinin "seçenek ideale ne kadar uzak" adımını besleyen bir yapı taşıdır.

Kökeni Hermann Minkowski'nin 1910'da yayımlanan Geometrie der Zahlen (Sayılar Geometrisi) adlı çalışmasına dayanır; burada genel Lp normu tanımlanmıştır. DecisionMind'da Minkowski uzaklığı, kullanıcının p değerini seçtiği tek genel uzaklık adımıdır; diğer uzaklık kartları (Manhattan, Öklid, Chebyshev) bu ailenin sabit p'li özel durumlarıdır.

Minkowski uzaklığının arkasındaki soru şudur: bir seçeneğin idealden sapmasını değerlendirirken, sapmaların dağılımına ne kadar önem vermeliyiz? p=1 iken (Manhattan) her sapma doğrusal olarak sayılır, hiçbiri diğerinden fazla cezalandırılmaz. p büyüdükçe büyük sapmalar giderek daha ağır cezalandırılır; p çok büyüdüğünde yalnız en kötü tek kriter sonucu belirler, diğer kriterlerdeki küçük sapmalar önemini yitirir.

Bu, Minkowski uzaklığına bir kaydırıcı (kaydırma düğmesi) gibi bakmayı sağlar: p küçükken felsefe "toplam sapma önemlidir, hangi kriterden geldiği fark etmez"; p büyükken felsefe "en zayıf halka en önemlisidir, diğerleri onu telafi edemez". Bir karar vericinin p seçimi, aslında "kriterler arasında telafi ne kadar kabul edilebilir" sorusuna verdiği örtük bir cevaptır ve bu cevap raporda açıkça belirtilmelidir.

Hesap tek bir adımdan oluşur, ama bir parametre seçimi gerektirir.

Tek adım, p'inci kuvvetten toplayıp p'inci kökü almak. İki vektör arasında her kriterde mutlak fark alınır, bu fark p'inci kuvvete yükseltilir, tüm kriterlerdeki bu değerler toplanır, son olarak toplamın p'inci kökü alınır. p=1 verildiğinde bu işlem doğrudan Manhattan uzaklığına, p=2 verildiğinde Öklid uzaklığına indirgenir; ikisi de Minkowski'nin özel durumlarıdır. DecisionMind'da p değeri kullanıcı tarafından belirlenir; varsayılan değer 2'dir (Öklid).

p'nin seçimi hesabın sonucunu doğrudan etkiler ve bu kartın ikinci ve üçüncü vakası bunu sayılarla gösterir. Adımın formülü ve DecisionMind'daki uygulaması yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Minkowski uzaklığı, seçilen p değerine göre hesaplanmış tek bir sayıdır; farklı p değerleriyle hesaplanan iki uzaklık birbiriyle karşılaştırılamaz, çünkü ölçekleri farklıdır. Sıfır olması iki vektörün birebir aynı olduğu anlamına gelir; büyük bir değer toplam sapmanın (seçilen p'ye göre ağırlıklandırılmış biçimde) büyük olduğunu gösterir.

p rapor edilmeden yalnız "uzaklık 0,30" demek eksik bilgidir, çünkü aynı iki seçenek p=1'de eşit çıkabilecekken p=2'de belirgin biçimde ayrışabilir. Bu yüzden Minkowski uzaklığı her zaman kullanılan p değeriyle birlikte raporlanmalıdır; p, sonucu formülün geri kalanı kadar belirleyen bir karardır.

Bu nedenle:

"Uzaklık 0,30, bu iki seçenek eşit derecede idealden uzak"

yerine:

"p=1 ile uzaklıklar eşit (0,30); p=2'ye geçildiğinde sapmaların dağılımı yüzünden bu eşitlik bozulmaktadır, çünkü p büyüdükçe tek bir büyük sapma diğerlerinden daha ağır basmaktadır"

biçiminde yazmak doğrudur.

Minkowski uzaklığı kesin (crisp) sayısal veriyle çalışır. DM3'te bu adla yalnız temel Minkowski üyesi bulunur, ayrı bir uzantısı yoktur; ancak p=1 ve p=2 özel durumları DM3'te ayrıca Manhattan ve Öklid uzaklığı adıyla da bulunur. Elinizde şunlar olmalı: iki eş uzunluklu sayısal vektör, tercihen ortak bir ölçeğe getirilmiş (normalize edilmiş) değerler ve birden büyük ya da eşit bir p değeri. p'nin seçimi veriden gelmez; karar vericinin ya da analistin, kriterler arasında ne kadar telafiye izin verildiğine dair bir kararıdır ve raporda gerekçelenmelidir. En az iki kriter, iki seçenek yeterlidir; üst sınır yoktur. Minkowski ağırlık üretmez, ağırlık istemez.

Kriterleriniz arasında ne kadar telafi kabul edildiğine dair net bir görüşünüz varsa ve bu görüşü tek bir sayıyla (p) ifade etmek istiyorsanız Minkowski uygun bir seçimdir; p=1 ile p=2 arasında (ya da daha yüksek bir p ile) denemeler yaparak sıralamanın ne kadar duyarlı olduğunu görebilirsiniz. Standart bir uzaklık (Manhattan ya da Öklid) yeterliyse, ayrıca p seçmekle uğraşmadan doğrudan o kartı kullanmak daha sadedir.

Kullanılmaması gereken durum, p'yi veriye ya da istenen sonuca bakarak seçmektir; bu, sonuçtan geriye doğru p aramak anlamına gelir ve dürüst değildir. Kriterler ikili ya da kategorikse Minkowski değil Hamming uzaklığı kullanılmalıdır. Kriterler arasında güçlü bir ilişki (korelasyon) varsa ve bu ilişki hesaba katılmalıysa Mahalanobis uzaklığı daha uygundur.

p'nin anlamı önceden gerekçelendirilebiliyor, duyarlılık analizi isteniyor → Minkowski

Standart p=1 ya da p=2 yeterli → doğrudan Manhattan ya da Öklid

Kriterler ikili/kategorik → Hamming

Kriterler birbiriyle ilişkili (korelasyonlu) → Mahalanobis

p sonuca bakılarak seçiliyor → hiçbir uzaklık ölçütü; önce p'nin gerekçesi netleştirilmeli

Minkowski uzaklığının en önemli üstünlüğü esnekliğidir: tek bir parametreyle Manhattan'dan Öklid'e, oradan Chebyshev'e kadar geniş bir aileyi kapsar; analist, kriterler arasındaki telafi anlayışını p ile ayarlayabilir. Bu esneklik, bir sıralamanın ne kadar sağlam olduğunu test etmek için de kullanılabilir: aynı veriye birkaç farklı p uygulanıp sıranın değişip değişmediğine bakılabilir. Hesabı basittir ve kriter sayısı büyüdükçe doğrusal ölçeklenir.

Sınırlılıkları esnekliğinin bedelidir. Birincisi, p seçimi keyfi olabilir; iki analist aynı veriye farklı p uygulayıp farklı sıralar bulabilir ve hangisinin "doğru" olduğu veriden çıkarılamaz, bir karardır. İkincisi, p büyüdükçe sonuç giderek yalnız en kötü tek kritere duyarlı hâle gelir; bu bazı durumlarda istenen bir özellik, bazı durumlarda bilgi kaybıdır. Üçüncüsü, farklı p değerleri aynı tabloya farklı sıra verebilir (Aruldoss, Travis ve Venkatasamy, 2019); bu duyarlılık raporda gösterilmelidir. Dördüncüsü, kriterler arasındaki ilişkiyi (korelasyonu) hesaba katmaz. Beşincisi, p rapor edilmezse okuyucu hangi uzaklığın kullanıldığını anlayamaz; bu, TOPSIS'te normalizasyon biçiminin belirtilmemesine benzer bir eksikliktir.

En yaygın hata, p değerini rapor etmeden yalnız "Minkowski uzaklığı" demektir; p olmadan sayı anlamsızdır. İkinci hata, farklı p değerleriyle birkaç sonuç deneyip istenen sıralamayı veren p'yi seçip diğerlerini göstermemektir; bu, sonuçtan geriye doğru parametre aramaktır ve dürüst değildir. Üçüncü hata, ham (normalize edilmemiş) kriterlere doğrudan Minkowski uzaklığı uygulamaktır; büyük ölçekli bir kriter, p ne olursa olsun toplamı domine eder. Dördüncü hata, p=1 ile p=2 sonuçlarının her zaman aynı sırayı vereceğini varsaymaktır; sapmaların dağılımı tek noktada yoğunlaşmışsa iki p farklı seçenekleri öne çıkarabilir.

Temel ilke şudur:

Minkowski uzaklığı bir tek sayı değil bir aile sunar; hangi üyesinin (p'nin) kullanıldığı, hesabın kendisi kadar rapor edilmesi gereken bir bilgidir.