DODGSON (En Az Değişiklik Yöntemi)

DODGSON, birden çok sıralama kaynağını tek bir sonuca indiren bir toplulaştırma yöntemidir. CONDORCET gibi çoğunluğun kazananı fikrine dayanır ama CONDORCET'in aksine, döngü çıktığında da elinizi boş bırakmaz: her seçenek için, o seçeneği çoğunluğun kazananı yapmak üzere sıralamalarda yapılması gereken en küçük değişikliği sayar. En az değişiklik gerektiren seçenek kazanandır. Yöntem, matematikçi ve yazar Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll takma adıyla da bilinir) tarafından 1876'da bir broşürde önerilmiştir.

DODGSON'ın sorduğu soru şudur: "Bu topluluğun görüşü, gerçek fikrinden ne kadar uzaklaşmış olabilir ki bu seçenek çoğunluğun kazananı olsun?" Her sıralama kaynağının görüşü, bitişik iki seçeneğin yerini değiştirerek küçük küçük değiştirilebilir kabul edilir. Bir seçeneği çoğunluğun kazananı yapmak için toplamda ne kadar az değişiklik gerekiyorsa, o seçenek gerçek çoğunluk görüşüne o kadar yakın sayılır.

Bu, CONDORCET'in "kazanan var mı yok mu" sorusunu bir mesafe sorusuna çevirir: kazanan yoksa, kazanana en yakın olan kimdir? DODGSON'ın felsefi sonucu bir tamamlama mantığıdır: döngüyü çözmenin yolu, çoğunluk fikrini en az bozan seçeneği aramaktır. Bunun bedeli hesaplama yüküdür; en az değişikliği bulmak, seçenek sayısı arttıkça hızla zorlaşan bir arama problemidir.

Yöntem üç adımda ilerler.

Birinci adım, sıraları toplamak ve ikili çoğunluğu saymak. Her kaynağın sıralaması bir tabloda birleştirilir; her seçenek çifti için kaç kaynağın hangisini öne koyduğu sayılır.

İkinci adım, her seçenek için en az değişikliği bulmak. Bir seçeneğin çoğunluğun kazananı olması, bütün rakiplerine karşı çoğunluğu kazanması demektir. Bu henüz sağlanmamışsa, o seçeneğin sıralamalardaki yerini bitişik komşularıyla değiştirerek yukarı taşımak gerekir. Her taşıma bir "değişiklik" sayılır; bir seçenek için gereken toplam değişiklik, o seçeneğin Dodgson skorudur.

Üçüncü adım, en düşük skoru seçmek. Dodgson skoru en düşük olan seçenek kazanandır; zaten çoğunluğun kazananıysa skoru sıfırdır ve hiçbir değişikliğe gerek yoktur. Diğer seçenekler artan skorlarına göre sıralanır.

Adımların formülleri ve ara tabloları DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Dodgson skoru, bir seçeneğin çoğunluğun kazananı olması için sıralamalarda gereken en küçük değişiklik sayısıdır. Sıfır skor, o seçeneğin zaten çoğunluğun kazananı olduğu anlamına gelir; başka bir yorum gerekmez. Pozitif bir skor, o seçeneğin kazanan olabilmesi için topluluğun görüşünün o kadar sayıda bitişik yer değiştirmeyle bozulması gerektiğini gösterir; skor küçükse seçenek gerçek çoğunluk görüşüne yakın sayılır, büyükse uzak sayılır.

Bu skor bir yüzde ya da olasılık değildir; yalnızca bir sayma işlemidir. Ayrıca DODGSON'ın kazanmayan seçenekleri sıralaması, her birinin kendi başına kazanan olma mesafesine dayanır; bu, seçeneklerin birbirine göre nasıl sıralanacağı sorusuyla aynı şey değildir. İki seçenek aynı Dodgson skoruna sahip olabilir; bu, ikisinin de kazanan olmaya aynı uzaklıkta olduğu anlamına gelir, aralarında bir tercih için başka bir ölçüt gerekebilir.

Bu nedenle:

"DODGSON en iyi seçeneği buldu, skoru şu"

yerine:

"Bu seçenek, çoğunluğun kazananı olmak için en az değişikliğe ihtiyaç duymuştur; skor sıfırdan uzaklaştıkça topluluğun gerçek görüşünden o kadar uzaklaşılmıştır"

biçiminde yazmak doğrudur.

DODGSON kesin (crisp) veriyle çalışır: her kaynağın sıra bilgisi tam sayıdır. DecisionMind'da bu yöntemin bulanık, gri gibi bir veri türü uzantısı yoktur; yalnız kesin sıra verisiyle çalışır.

Elinizde şunlar olmalı: her kaynağın bütün seçenekleri eksiksiz sıraladığı bir tablo. En az iki seçenek ve iki sıralama kaynağı gerekir. Seçenek sayısı arttıkça (on ikinin üzerinde) en az değişikliği bulmak hesaplama açısından zorlaşır; bu, yöntemin NP-zor olmasından kaynaklanır (Bartholdi, Tovey ve Trick, 1989). DODGSON ağırlık istemez, üretmez.

Elinizde birden çok sıralama kaynağı varsa, çoğunluk fikrine dayanmak istiyorsanız ve döngü çıksa bile bir kazanan seçmek gerekiyorsa DODGSON uygundur. Küçük seçenek sayısında (on iki ve altında) çalışır ve sonucu çoğunluk görüşüne "en az müdahaleyle" ulaşılan seçenek olarak yorumlanabilir.

Kullanılmaması gereken durum, seçenek sayısının büyük olduğu ya da her karar için hızlı sonuç gerektiği durumdur. En az değişikliği bulmak NP-zor bir problemdir; on iki seçeneğin üzerinde pratik hesaplama zorlaşır. Ayrıca Orakçı'nın (2024) gözlemine göre, DODGSON rastgele örneklerin yüzde seksen ile doksan dokuzunda tam bir sıralama üretemez; yalnızca kazananı belirlemek yeterliyse bu sorun olmaz, ama tam bir sıra gerekiyorsa dikkatli olunmalıdır.

Küçük seçenek sayısı, çoğunluk fikrine en yakın kazananı istiyorum → DODGSON

Seçenek sayısı büyük, hızlı ve her zaman tam sıra istiyorum → COPELAND

Toplam uyuşmazlığı küresel olarak en aza indiren tam bir sıra istiyorum → KEMENY-YOUNG

Kazanan yoksa bunu açıkça görmek istiyorum, mesafe hesaplamak istemiyorum → CONDORCET

DODGSON'ın en büyük gücü, döngü çıksa bile çoğunluk fikrine en yakın seçeneği bulmasıdır; CONDORCET'in bıraktığı boşluğu doldurur. Sıfır skor doğrudan çoğunluğun kazananını gösterdiği için, yöntem CONDORCET kazananı varsa onu her zaman bulur; bu, DODGSON'ı bir Condorcet tamamlama yöntemi yapar. Skorun kendisi sezgisel olarak anlaşılırdır: "kaç değişiklik gerekiyor" sorusu karar vericiye kolay anlatılır.

DODGSON'ın en bilinen sınırı hesaplama zorluğudur; kazananı kesin olarak bulmak NP-zor bir problemdir ve seçenek sayısı arttıkça pratikte imkânsızlaşır (Bartholdi, Tovey ve Trick, 1989). İkincisi, yöntem sık sık tam bir sıralama üretemez; Orakçı'nın (2024) gözlemine göre rastgele örneklerin büyük çoğunluğunda DODGSON yalnızca kazananı belirleyebilir, geri kalan seçenekler arasında eşitlikler kalır. Üçüncüsü, Dodgson skoru bir seçeneğin tek başına kazanan olma mesafesine dayanır; bu, seçeneklerin birbirine göre tutarlı bir tam sırasını garanti etmez (Black, 1958).

En yaygın hata, seçenek sayısı büyükken DODGSON'ı tam kesinlikle çalıştırmaya çalışmaktır; bu durumda yaklaşık yöntemler ya da küçük aday kümeleriyle sınırlama gerekir. İkinci hata, sıfırdan farklı bir Dodgson skorunu bir yüzde ya da olasılık gibi okumaktır; skor yalnızca gereken değişiklik sayısıdır. Üçüncü hata, eşit skorlu iki seçenek arasında gerekçesiz bir tercih yapmaktır; eşitlik, ikisinin de kazanan olmaya aynı uzaklıkta olduğu anlamına gelir. Dördüncü hata, DODGSON'ın her zaman tam bir sıra vereceğini varsaymaktır; yöntem çoğu durumda yalnızca kazananı güvenle belirler.

Temel ilke şudur:

DODGSON'ın verdiği sayı, çoğunluk görüşünün bu seçeneği kazanan yapmak için ne kadar zorlanması gerektiğidir; sıfıra ne kadar yakınsa seçenek o kadar tartışmasızdır.