Heronian Ortalaması (HM)

Heronian ortalaması, Bonferroni ortalamasıyla aynı aileden gelen bir toplulaştırma yapı taşıdır. Kendi başına bağımsız bir karar yöntemi değildir; kriterler arasında karşılıklı etkileşim olduğu varsayıldığında WAM'in yerine geçen bir toplulaştırma adımıdır. Bonferroni ortalamasından farkı, yalnızca farklı kriter çiftlerini değil, her kriterin kendisiyle eşleşen çiftini (kendi karesini) de hesaba katmasıdır. Çıktısı, girdilerle aynı ölçekte tek bir sayıdır.

Adını, üçgenin alanını kenar uzunluklarından hesaplayan antik dönem matematikçisi İskenderiyeli Heron'dan alır; klasik Heron ortalaması iki sayı için tanımlıdır ve aritmetik ile geometrik ortalama arasında bir yerde durur. Bu klasik tanımı çok kriterli karar vermeye taşıyan ve genel p, q parametreli biçimini ortaya koyan çalışma Yu'nun 2013 tarihli makalesidir; Yu, Heronian ortalamayı sezgisel bulanık sayılara uygulayarak IFN-HM operatörünü tanımlamıştır.

Heronian ortalamasının felsefesi, Bonferroni ortalamasıyla aynı köke dayanır: kriterler arasında bir etkileşim vardır ve bu etkileşim yalnızca farklı kriter çiftlerinde değil, bir kriterin kendi büyüklüğünde de görülebilir. Bir kriterin kendisiyle eşleştiği çift, o kriterin karesidir; bu terim, kriterin tek başına ne kadar güçlü ya da zayıf olduğunu ortalamaya doğrudan katar. Bonferroni ortalaması bu kendisiyle eşleşen çiftleri dışarıda bırakırken Heronian ortalaması onları da işin içine katar.

Bu küçük farkın sonucu önemlidir: Heronian ortalaması, çok yüksek bir kriter puanının kendi karesi üzerinden ortalamaya güçlü bir katkı yapmasına izin verir; bu yüzden Bonferroni ortalamasına göre yüksek uçlara biraz daha toleranslı, düşük uçlara ise yine duyarlıdır. İki operatör de "kriterler bağımsız değil" der, ama Heronian ortalaması bu bağımsızlığı reddederken kriterin kendi büyüklüğünü de bir sinyal olarak kabul eder.

Heronian ortalaması dört girdi ister: negatif olmayan kriter puanları, iki parametre (p ve q) ve isteğe bağlı ağırlıklar.

Birinci adım, girdileri doğrulamak. Kriter puanlarının negatif olmadığı, kriter sayısının en az iki olduğu, p ve q parametrelerinin negatif olmadığı kontrol edilir.

İkinci adım, ağırlıksız Heronian ortalamasını almak. Bir kriterin kendisiyle eşleştiği çiftler dâhil olmak üzere tüm sıralı çiftler (i küçük eşittir j) için bir kriterin p'inci kuvveti ile diğerinin q'uncu kuvveti çarpılır. Bu çarpımların uygun biçimde ölçeklenmiş toplamı alınır, sonra bu toplamın (p artı q)'uncu kökü alınır.

Üçüncü adım, ağırlıklı biçime geçmek. Kriterlerin önemi farklıysa, ikinci adımdaki basit toplam yerine her çiftin ağırlıklarının çarpımıyla tartılmış bir toplam kullanılır.

Dördüncü adım, sıralamak. Her seçenek için bu işlem tekrarlanır ve seçenekler sonuç puanına göre büyükten küçüğe sıralanır.

Adımın formülü, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Heronian ortalamasının verdiği sayı, kriterler arasındaki karşılıklı etkileşimi ve her kriterin kendi büyüklüğünü birlikte yansıtan bir toplam performanstır. Bonferroni ortalamasına yakın ama ondan farklı bir sayı üretir; bu fark, kendisiyle eşleşen çiftlerin (kriterin karesinin) hesaba katılıp katılmamasından kaynaklanır.

Bu sayının dikkat çekici bir özelliği, Bonferroni ortalamasının aksine, yüksek bir kriter puanına biraz daha fazla değer vermesidir. Aynı veri kümesinde Heronian ortalaması Bonferroni ortalamasından biraz daha yüksek çıkabilir, çünkü kendi karesi terimleri genellikle çapraz çarpımlardan daha büyüktür.

Bu nedenle:

"Heronian ortalaması Bonferroni ortalamasından yüksek çıktı, bu yüzden daha doğru bir sonuçtur"

yerine:

"Heronian ortalaması, kriterlerin kendi büyüklüğünü de hesaba kattığı için Bonferroni ortalamasından farklı, genellikle biraz daha yüksek bir sayı üretir; hangisi doğru olduğu değil, hangisinin varsayımı sizin karar sorunuza uyduğu önemlidir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Heronian ortalaması kesin (crisp) ve negatif olmayan veriyle çalışır. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir bulanık, gri ya da sezgisel uzantısı yoktur; kesin sayılarla çalışır.

Elinizde şunlar olmalı: en az iki kriterin puanları, aynı ölçekte ve karşılaştırılabilir olmalı; p ve q parametreleri için bir seçim (eşit ve 1 alınması en yaygın başlangıç noktasıdır); isteğe bağlı olarak toplamı 1 olan ağırlıklar. p ve q'nun seçimi, Bonferroni ortalamasında olduğu gibi analistin risk anlayışından gelir ve raporda belirtilmelidir.

Kriterler arasında etkileşim varsa ve bu etkileşimin yanında her kriterin kendi büyüklüğünün de ayrıca değerli sayılması isteniyorsa Heronian ortalaması uygun bir seçimdir. Bonferroni ortalamasına çok yakın bir kullanım alanı vardır; ikisi arasındaki seçim genellikle kendi kareyi (bir kriterin kendisiyle eşleşmesini) hesaba katmak isteyip istememeye bağlıdır.

Kriterler bağımsızsa ya da etkileşim varsayımını destekleyecek bir gerekçe yoksa Heronian ortalaması gereksiz karmaşıklık katar; WAM yeterlidir. Kendi kareyi hesaba katmak istenmiyorsa, yani yalnızca farklı kriterlerin etkileşimiyle ilgileniliyorsa Bonferroni ortalaması daha saf bir tercih olur.

Kriterler arasında etkileşim var ve kriterin kendi büyüklüğü de değerli sayılıyor → Heronian ortalaması

Yalnızca farklı kriterlerin etkileşimiyle ilgileniliyor, kendi kare terimi istenmiyor → Bonferroni ortalaması

Kriterler bağımsız, ek karmaşıklık gerekmiyor → WAM

Etkileşim değil, tek bir kriterin aşırı düşüklüğü cezalandırılsın isteniyor → WGM ya da WHM

Etkileşim derecesi tek bir parametreyle ayarlanabilir olsun isteniyor → Güç ortalaması (Power Mean), ama bu ailede kriter etkileşimi yakalanmaz

Heronian ortalamasının en önemli üstünlüğü, Bonferroni ortalamasının yakaladığı etkileşim bilgisine ek olarak her kriterin kendi büyüklüğünü de ortalamaya katmasıdır; bu, operatöre biraz daha zengin bir bilgi tabanı kazandırır. Yu'nun gösterdiği gibi bu özellik, sezgisel bulanık ortamlar gibi belirsizliğin yüksek olduğu durumlarda operatörün daha esnek biçimde ayarlanmasına imkân tanır (Yu, 2013). Ayrıca Heronian ortalaması, tekdüzelik ve sınır koşulları gibi temel matematiksel özellikleri Bonferroni ortalamasıyla paylaşır; bu da onu güvenilir bir yapı taşı yapar.

Heronian ortalamasının zayıflığı, Bonferroni ortalamasıyla neredeyse aynı yorum güçlüğünü taşımasıdır; karar vericiye "neden kendi kare terimi de hesaba katılıyor" sorusunu açıklamak ek bir çaba gerektirir. Ayrıca iki operatör (Bonferroni ve Heronian) birbirine o kadar yakındır ki hangisinin seçildiği çoğu zaman gerekçesiz kalır; bu, raporun bilimsel şeffaflığını zayıflatır. Wei, Lu ve Gao'nun farklı bulanık ortamlara uyarladığı çalışmalarda görüldüğü gibi, parametre sayısı arttıkça (resim bulanık, sezgisel bulanık gibi ek katmanlar eklendiğinde) operatörün yorumu daha da zorlaşır (Wei, Lu ve Gao, 2018).

En sık görülen hata, Heronian ortalaması ile Bonferroni ortalaması arasında seçim yaparken hiçbir gerekçe sunmamaktır; ikisi birbirine çok yakın sonuçlar verse de varsayımları farklıdır ve seçim nedeni raporda belirtilmelidir. İkinci hata, p ve q parametrelerini varsayılan değerde bırakıp bu seçimi hiç tartışmamaktır. Üçüncü hata, Heronian ortalamasının Bonferroni ortalamasından yüksek çıkmasını "daha iyi bir sonuç" gibi sunmaktır; iki sayı farklı varsayımların ürünüdür, biri diğerinden üstün değildir.

Temel ilke şudur:

Heronian ortalaması, Bonferroni ortalamasına çok yakın ama kriterin kendi büyüklüğünü de hesaba katan bir yorumdur; hangisinin seçildiği ve neden seçildiği raporda açıkça belirtilmelidir.