Kendall Tau (Kendall'ın Sıra Uyum Katsayısı)

Kendall τ bir sıralama yöntemi değildir; seçenekleri sıralamaz. Elinizde aynı seçenekler için üretilmiş iki ayrı sıralama varsa (iki farklı ağırlık takımından çıkan iki sıra, iki farklı yöntemin verdiği iki sıra ya da iki uzmanın verdiği iki sıra), τ bu ikisinin ne kadar benzediğini tek bir sayıyla özetler. Çıktısı eksi bir ile bir arasında bir katsayıdır; bir, iki sıralamanın birebir aynı olduğunu, eksi bir tam tersine döndüğünü, sıfır ise aralarında sistematik bir ilişki olmadığını gösterir.

Yöntem Maurice Kendall tarafından 1938'de tanımlanmıştır ve istatistikte Spearman'ın sıra korelasyonuna en çok başvurulan alternatiftir. Çok kriterli karar analizinde iki farklı yöntemin ya da iki farklı ağırlık senaryosunun ürettiği sıraları karşılaştırmak için kullanılır.

Kendall τ'nun arkasındaki fikir, iki sıralamayı bütün olarak değil, ikili karşılaştırmalar üzerinden değerlendirmektir. Seçeneklerden herhangi iki tanesi alınır; birinci sıralamada hangisi öndeyse, ikinci sıralamada da aynısı öndeyse bu çift "uyumlu" sayılır. Sıra tersine dönmüşse çift "uyumsuz" sayılır. Bütün olası çiftler bu şekilde tek tek incelenir ve uyumlu çiftlerin uyumsuz çiftlere göre net fazlalığı, tüm çift sayısına oranlanır.

Bu felsefenin sonucu, τ'nun sıralamaların kendisine değil, göreli sırasına bakmasıdır. İki sıralamada seçeneklerin puanları çok farklı olabilir; τ bunu görmez, yalnız "kim kimin önünde" sorusuna bakar. Bu, τ'yu ölçüm birimlerinden ve puan dağılımlarından bağımsız kılar ama aynı zamanda puan farkının büyüklüğü hakkında hiçbir şey söylemez.

Yöntem tek bir karşılaştırma mantığına dayanır.

Birinci adım, çiftleri çıkarma. Karşılaştırılan seçeneklerden alınabilecek bütün ikili çiftler listelenir. n seçenek varsa, bu çiftlerin sayısı seçenek sayısının artmasıyla hızla büyür.

İkinci adım, her çifti sınıflama. Her çift için iki sıralamaya bakılır. İki sıralamada da aynı seçenek öndeyse çift uyumludur (concordant); sıra ters dönmüşse çift uyumsuzdur (discordant). İki sıralamada eşit sırada olan seçenekler bu sayıma girmez ve ayrı ele alınır.

Üçüncü adım, net fark. Uyumlu çift sayısından uyumsuz çift sayısı çıkarılır. Bu, iki sıralamanın ne kadar "aynı yöne" gittiğinin ham ölçüsüdür.

Dördüncü adım, ölçekleme. Net fark, toplam çift sayısına bölünerek eksi bir ile bir arasına ölçeklenir. Sonuç, Kendall τ katsayısıdır.

Adımların formülleri ve ara tabloları DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

τ katsayısı, iki sıralamanın çiftler düzeyinde ne kadar aynı yöne gittiğini gösterir. τ birse iki sıralama birebir aynıdır; eksi birse biri diğerinin tam tersidir; sıfırsa uyumlu ve uyumsuz çiftler birbirini dengelemiştir. τ, "sıralamaların yüzde kaçı aynı" gibi bir yüzde değildir; iki sıralamanın kaç seçenekte tam olarak örtüştüğünü değil, çiftler arasındaki net uyum oranını gösterir.

τ'nun büyüklüğü seçenek sayısına da bağlıdır. Çok az seçenekli karşılaştırmalarda (üç dört seçenek) τ yalnız birkaç ayrık değer alabilir, çünkü olası çift sayısı da azdır; bu durumda küçük bir sıra değişikliği bile τ'yu büyük ölçüde oynatır. Seçenek sayısı arttıkça τ daha ince bir ölçek üzerinde hareket eder.

Bu nedenle:

"İki sıralama arasındaki τ 0,33 çıktı, yani sıralamalar yüzde 33 aynı"

yerine:

"τ 0,33 çıkmıştır; bu, seçenek çiftlerinin net uyum oranıdır ve iki sıralamanın kısmen örtüştüğünü ama birebir aynı olmadığını gösterir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Kendall τ kesin veriyle çalışır; girdisi sayısal bir karar tablosu değil, aynı seçenekler için üretilmiş iki sıralamadır. DecisionMind'da bu yöntemin ayrı bir uzantısı yoktur; üç ya da daha çok sıralamanın uzlaşısı ölçülecekse Kendall W kullanılır.

Elinizde şunlar olmalı: aynı seçenek kümesi için iki ayrı sıralama (ya da sıralamaya çevrilebilir iki puan listesi). Eşit sıralı (berabere) seçenekler varsa bu durum ayrıca ele alınmalıdır, çünkü klasik τ eşitlikleri saymaz. En az iki seçenek gerekir; anlamlı bir yorum için üç ile on iki seçenek arası rahat çalışır, daha fazla seçenekte τ daha ince ayrım yapabilir.

İki farklı ağırlık senaryosundan, iki farklı yöntemden ya da iki farklı uzmandan çıkan sıraların ne kadar örtüştüğü tek bir sayıyla özetlenmek isteniyorsa Kendall τ tam yerindedir. Küçük sıra değişikliklerine Spearman'ın sıra korelasyonundan daha az duyarlı olduğu için, uç değerlerin sıralamayı etkilediği durumlarda tercih edilir.

Kullanılmaması gereken durumlar da vardır. Üçten fazla sıralamanın birlikte uzlaşısı ölçülecekse τ ikili karşılaştırmaya kilitlidir ve bu durumda Kendall W kullanılmalıdır. Sıralamaların kendisi değil, altındaki puan farklarının büyüklüğü karşılaştırılacaksa τ bu bilgiyi taşımaz; puanların kendisi karşılaştırılmalıdır. Seçenek kümesinin kendisi değişebilir bir kümeyse (bazı seçenekler her seferinde farklı) ve bu değişkenliğin etkisi merak ediliyorsa τ değil Bootstrap Resampling uygundur.

İki sıralamanın uyumu tek sayıyla özetlenmek isteniyor → Kendall τ

Üç ya da daha çok sıralamanın uzlaşısı ölçülmek isteniyor → Kendall W

Sıralamalar değil puan farkları karşılaştırılacak → puanların kendisi, τ değil

Seçenek kümesindeki rastlantıya karşı dayanıklılık merak ediliyor → Bootstrap Resampling

Eşit sıralı (berabere) çok sayıda seçenek var → τ-b gibi eşitlik-düzeltmeli bir biçim gerekir

Kendall τ'nun en önemli üstünlüğü, hiçbir dağılım varsayımı yapmadan, yalnız sıra bilgisine dayanarak çalışmasıdır. Uç değerlerden Spearman'ın sıra korelasyonuna göre daha az etkilenir, çünkü bir seçeneğin puanının ne kadar uç olduğuna değil, yalnız kimin kimin önünde olduğuna bakar (Noether, 1981). Yorumu sezgiseldir: "seçenek çiftlerinin net uyum oranı" karar vericiye kolay anlatılır. Hesabı basittir ve iki sıralama elinde olan herkes uygulayabilir.

Sınırlılıkları da bu sadelikten doğar. Birincisi, τ yalnız iki sıralamayı karşılaştırır; üç ya da daha çok sıralamanın birlikte uzlaşısını ölçmek için Kendall W gerekir. İkincisi, az seçenekli karşılaştırmalarda τ yalnız birkaç ayrık değer alabilir ve bu durumda küçük bir değişiklik τ'yu büyük sıçratır. Üçüncüsü, eşit sıralı seçenekler klasik τ formülünde sorun çıkarır; düzeltilmiş biçimler (τ-b, τ-c) gerekir ve bu kart yalnız temel τ'yu anlatır. Dördüncüsü, τ puan farklarının büyüklüğünü görmez; iki seçenek arasındaki fark çok küçük de olsa çok büyük de olsa, sıra aynıysa τ aynı kalır (García-Cascales ve Lamata, 2012, benzer bir uyarıyı sıralama yöntemleri için yapmıştır).

En yaygın hata, τ'yu bir yüzde gibi okumaktır. "τ 0,33, yani sıralamalar yüzde 33 aynı" cümlesi yanlıştır; doğrusu, τ'nun seçenek çiftleri arasındaki net uyum oranı olduğudur.

İkinci hata, üçten fazla sıralamayı ikişer ikişer τ ile karşılaştırıp bunları ortalamaya çalışmaktır; bu durumda doğrudan Kendall W kullanılmalıdır. Üçüncü hata, eşit sıralı seçenekleri görmezden gelip klasik τ formülünü uygulamaktır; eşitlikler düzeltilmiş bir biçimle ele alınmalıdır. Dördüncü hata, çok az seçenekli (üç seçenek) bir karşılaştırmada çıkan τ değerini, çok seçenekli bir karşılaştırmadaki τ değeriyle aynı hassasiyette yorumlamaktır; az seçenekte τ yalnız birkaç ayrık değer alabilir.

Temel ilke şudur:

Kendall τ, iki sıralamanın seçenek çiftleri düzeyinde ne kadar aynı yöne gittiğini ölçer; puan farkının büyüklüğünü değil, yalnız sırasını karşılaştırır ve rapor bu ayrımı açıkça yazmalıdır.