MAHALANOBIS UZAKLIĞI (Mahalanobis Distance)

Mahalanobis uzaklığı, iki sayısal vektör arasındaki farkı ölçerken kriterlerin birbiriyle nasıl ilişkili (korelasyonlu) olduğunu da hesaba katan bir uzaklık ölçütüdür. Girdisi eş uzunluklu iki vektör ve kriterler arasındaki ilişkiyi özetleyen bir kovaryans matrisidir; çıktısı tek bir sayıdır. Kriterler birbirinden tamamen bağımsızsa (kovaryans matrisi birim matris ise) Mahalanobis uzaklığı Öklid uzaklığına eşittir; asıl farkı, kriterler ilişkiliyken ortaya çıkar. Hellwig gibi sıralama yöntemlerinin korelasyona duyarlı sürümlerinde "seçenek ideale ne kadar uzak" adımını besleyen bir yapı taşıdır.

Prasanta Chandra Mahalanobis tarafından 1936'da, Hindistan'daki farklı nüfus gruplarının kafatası ölçümlerini karşılaştırmak için istatistikte tanıtılmıştır; sorusu "bu ölçüm grubu, diğer ölçümlerin oluşturduğu alışıldık örüntüye göre ne kadar sıra dışı" sorusuydu. Bu soru, karar analizinde kriterler arasında güçlü bir ilişki olduğunda ("büyük bütçeli projeler genelde uzun sürer" gibi) doğrudan işe yarar.

Mahalanobis uzaklığının arkasındaki soru şudur: iki nokta arasındaki ham fark, kriterlerin her zamanki birlikte hareket etme örüntüsüne uyuyor mu, yoksa bu örüntüyü mü bozuyor? İki kriter genelde birlikte artıp azalıyorsa (pozitif korelasyon), her ikisinde birden aynı yönde sapan bir seçenek "alışıldık" sayılır ve yakın kabul edilir; yalnız birinde sapıp diğerinde sapmayan bir seçenek "alışılmadık" sayılır ve daha uzak kabul edilir, ham farkları aynı olsa bile.

Bu, Öklid uzaklığının göremediği bir bilgiyi ortaya çıkarır. Öklid uzaklığı her kriteri birbirinden bağımsız, eşit önemde sayar; iki seçenek aynı toplam sapmaya sahipse eşit uzaklıktadır, sapmanın kriterlerin alışıldık ilişkisine uyup uymadığına bakmaz. Mahalanobis uzaklığı tam olarak bunu sorar ve bazen Öklid'e göre tam bir berabereliği kesin bir üstünlüğe çevirir. Karar vericinin sorusu "kriterler birbirinden bağımsız, her biri kendi başına önemli" ise Öklid yeterlidir; "kriterler ilişkili ve bu ilişkiye aykırı bir sapma daha riskli sayılmalı" ise Mahalanobis gerekir.

Hesap iki adımdan oluşur.

Birinci adım, ilişkiyi (kovaryansı) belirlemek. Kriterler arasındaki ilişki bir kovaryans matrisiyle özetlenir; bu matris ya mevcut gözlemlerden hesaplanır ya da uzman görüşüyle (hangi kriterlerin birlikte hareket ettiği bilgisiyle) belirlenir. Kriterler birbirinden bağımsızsa bu matris birim matristir (köşegen dışında sıfır) ve Mahalanobis uzaklığı Öklid uzaklığına indirgenir.

İkinci adım, ilişkiye göre ağırlıklandırılmış fark. İki vektör arasındaki ham fark alınır, ama bu fark doğrudan toplanmaz; kovaryans matrisinin tersiyle ağırlıklandırılır. Bu ağırlıklandırma, korelasyona uyan sapmaları küçültür, korelasyona aykırı sapmaları büyütür. Sonucun karekökü Mahalanobis uzaklığıdır.

Gözlem sayısı kriter sayısından azsa (örneğin yalnız iki seçenek karşılaştırılıyorsa) kovaryans matrisi tekil (tersi alınamaz) olabilir; bu durumda genelleştirilmiş ters (Moore-Penrose) kullanılır ve bu, sonuçların dikkatli yorumlanmasını gerektirir. Adımların formülü ve DecisionMind'daki uygulaması yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Mahalanobis uzaklığı, korelasyona göre ağırlıklandırılmış bir sapma büyüklüğüdür; ham Öklid uzaklığıyla aynı birimde değildir ve doğrudan karşılaştırılamaz. Sıfır olması iki vektörün birebir aynı olduğu anlamına gelir. Kovaryans matrisi birim matrisse (kriterler bağımsızsa) Mahalanobis ve Öklid uzaklığı sayıca eşittir; bu, iki ölçütün aynı şeyi söylediği anlamına değil, bu özel durumda ilişkinin devre dışı kaldığı anlamına gelir.

Mahalanobis uzaklığının en önemli özelliği, aynı ham (Öklid) uzaklığa sahip iki seçeneği birbirinden ayırabilmesidir: biri kriterlerin alışıldık ilişkisine uyan bir sapmaya sahipse küçük, diğeri bu ilişkiyi bozan bir sapmaya sahipse büyük bir Mahalanobis değeri alır. Bu ayrım kovaryans matrisinin doğruluğuna bağlıdır; yanlış ya da zayıf tahmin edilmiş bir kovaryans matrisi yanlış bir ayrım üretir.

Bu nedenle:

"Öklid uzaklığına göre bu iki seçenek eşit derecede idealden uzak"

yerine:

"Ham sapmaları eşit olsa da, kriterler arasındaki bilinen ilişki hesaba katıldığında bu iki seçenek eşit uzaklıkta değildir; biri alışıldık örüntüye uyarken diğeri bu örüntüyü bozmaktadır"

biçiminde yazmak doğrudur.

Mahalanobis uzaklığı kesin (crisp) sayısal veriyle çalışır. DM3'te bu adla yalnız temel Mahalanobis üyesi bulunur, ayrı bir uzantısı yoktur. Elinizde şunlar olmalı: iki eş uzunluklu sayısal vektör ve kriterler arasındaki ilişkiyi gösteren bir kovaryans matrisi; bu matris ya yeterli sayıda geçmiş gözlemden hesaplanır ya da uzman görüşüyle belirlenir. Gözlem sayısı kriter sayısından azsa kovaryans matrisinin güvenilirliği düşer ve genelleştirilmiş ters kullanmak gerekebilir; bu durum raporda belirtilmelidir. En az iki kriter gerekir; kriter sayısı arttıkça güvenilir bir kovaryans matrisi için daha fazla gözlem gerekir. Mahalanobis ağırlık üretmez, ağırlık istemez; girdisi kriter ağırlıkları değil kriterler arası ilişkidir.

Kriterleriniz arasında bilinen ya da ölçülebilir güçlü bir ilişki varsa (iki maliyet kalemi genelde birlikte artıyorsa, bir performans ölçütüyle bir risk ölçütü ters yönde hareket ediyorsa) ve bu ilişkinin karar için önemli olduğunu düşünüyorsanız Mahalanobis uygun bir seçimdir. Yeterli sayıda güvenilir gözlem varsa (kovaryans matrisini anlamlı biçimde hesaplayacak kadar) kullanılabilirlik artar.

Kullanılmaması gereken durum, kriterlerin gerçekten birbirinden bağımsız olduğu ya da ilişkinin güvenilir biçimde tahmin edilemediği (çok az gözlem, tekil kovaryans matrisi) durumdur; bu durumda Öklid uzaklığı hem daha basit hem daha güvenilirdir. Kriterler ikili ya da kategorikse Mahalanobis değil Hamming uzaklığı kullanılmalıdır. Aykırı değerlere karşı dayanıklılık öncelikliyse Manhattan uzaklığı daha uygundur.

Kriterler arasında bilinen güçlü bir ilişki var, bu ilişki karara katılmalı → Mahalanobis

Kriterler bağımsız ya da ilişki güvenilir tahmin edilemiyor → Öklid

Kriterler ikili/kategorik → Hamming

Aykırı değerlere dayanıklılık öncelikli → Manhattan

İlişkiyi görmezden gelip yalnız tek bir p ayarı isteniyor → Minkowski

Mahalanobis uzaklığının en önemli üstünlüğü, kriterler arasındaki ilişkiyi görmezden gelmeyen tek yaygın uzaklık ölçütü olmasıdır; Öklid, Manhattan ve Minkowski uzaklıklarının hiçbiri bunu yapmaz. Ölçek farklarına da doğal olarak duyarsızdır, çünkü kovaryans matrisi zaten her kriterin kendi değişkenliğini hesaba katar; bu yönüyle önceden ayrı bir normalizasyon adımına daha az bağımlıdır. Korelasyonlu kriterlerde Öklid uzaklığının gizlediği bir ayrımı (Havacılık vakasında gösterildiği gibi) ortaya çıkarabilir; bu, istatistikte aykırı gözlem tespitinde yaygın biçimde kullanılmasının nedenidir (De Maesschalck, Jouan-Rimbaud ve Massart, 2000).

Sınırlılıkları girdisinin (kovaryans matrisinin) kalitesine bağlıdır. Birincisi, kovaryans matrisinin güvenilir hesaplanması için kriter sayısından fazla gözlem gerekir; az gözlemle matris tekildir (tersi alınamaz) ve genelleştirilmiş ters kullanmak gerekir, bu da sonucun yorumunu zorlaştırır. İkincisi, kovaryans matrisi yanlış ya da eski veriden hesaplanmışsa (ilişki zamanla değişmişse) Mahalanobis uzaklığı yanlış bir ayrım üretir; ölçüt kendisi kadar iyi değildir, girdisi kadar iyidir. Üçüncüsü, hesabı ve anlamı Öklid ya da Manhattan'a göre daha soyuttur; karar vericiye "korelasyona göre ağırlıklandırılmış fark" fikrini anlatmak, "toplam fark" fikrini anlatmaktan daha zordur. Dördüncüsü, DM3'ün yalnız iki seçenek karşılaştırdığı durumlarda (J.expected örneğinde olduğu gibi) örnek kovaryans hesaplanamaz; bu durumda kovaryans dışarıdan (uzman görüşüyle ya da geçmiş veriden) verilmelidir (Roszkowska, 2024).

En yaygın hata, kovaryans matrisini az sayıda gözlemden hesaplayıp güvenilirliğini sorgulamadan kullanmaktır; birkaç gözlemden çıkan bir ilişki gerçek bir örüntü olmayabilir. İkinci hata, kriterler arasında hiçbir ilişki olmadığı hâlde (bağımsız kriterlerde) Mahalanobis uygulayıp Öklid'den farklı bir sonuç beklemektir; bağımsız kriterlerde iki ölçüt zaten eşittir. Üçüncü hata, kovaryans matrisini bir kez hesaplayıp hiç güncellemeden yıllarca kullanmaktır; kriterler arasındaki ilişki zamanla değişebilir. Dördüncü hata, tekil bir kovaryans matrisinde genelleştirilmiş tersin kullanıldığını rapor etmeden sonucu diğer analizlerle aynı güvenilirlikte sunmaktır.

Temel ilke şudur:

Mahalanobis uzaklığı yalnız kriterler arasındaki ilişki güvenilir biçimde bilindiğinde bir şey katar; ilişki bilinmiyorsa ya da güvenilir değilse Öklid uzaklığı hem daha sade hem daha dürüsttür.