Min-Max Normalization (Minimum-Maksimum Ölçekleme)

Min-Max Normalization, TOPSIS başta olmak üzere birçok sıralama yönteminin normalizasyon adımında kullanılan bir ölçek eşitleme aracıdır. Karar tablosundaki her sütunu, o sütunda gözlenen en kötü ile en iyi değer arasındaki aralığa göre yeniden ölçekler. Çıktısı bir sıralama değildir; her hücrenin kendi sütununun aralığı içindeki konumunu gösteren, 0 ile 1 arasına sıkıştırılmış bir tablodur. Hwang ve Yoon, 1981'de çok kriterli karar verme yöntemlerini bir araya getiren kitaplarında bu biçimi tanımlamıştır; günümüzde en yaygın kullanılan normalizasyon yapı taşlarından biridir.

Yöntemin sorduğu soru şudur: bu seçenek, bu kümedeki en kötü ile en iyi arasında nerede duruyor? Referans noktası tek bir uç değil, aralığın kendisidir. Bu, yöntemi Linear Max Normalization'dan ayırır; Linear Max yalnız en iyiye göre oranlar ve en kötü değer otomatik olarak 0 olmayabilir, Min-Max ise her iki ucu da sabitler. Felsefi sonucu şudur: sütunun en iyisi her zaman tam 1, en kötüsü her zaman tam 0 alır ve aradaki tüm seçenekler bu iki uç arasında doğrusal bir konuma yerleşir. Yöntem bir seçim kümesinin kendi içindeki göreli yayılımını tam olarak kullanır; bu yüzden farklı seçenek kümeleriyle yapılan iki analiz asla doğrudan karşılaştırılamaz.

Yöntem iki adımda ilerler.

Birinci adım, aralığın bulunması. Her kriter için sütundaki en küçük değer ile en büyük değer belirlenir.

İkinci adım, aralığa göre yerleştirme. Fayda kriterinde her hücreden sütunun en küçük değeri çıkarılır, sonuç aralığın genişliğine (en büyük eksi en küçük) bölünür. Maliyet kriterinde ise sütunun en büyük değerinden her hücre çıkarılır, yine aralığın genişliğine bölünür. Bu işlem çıkarma ve bölmeye dayanır, ters çevirmeye değil; bu yüzden diğer üç normalizasyon yapı taşından (Linear Max, Linear Sum, Logarithmic) farklı olarak sıfır ve negatif ham veriyle de sorunsuz çalışır. Örneğin bir kriter kâr ile zarar arasında değişen bir değer taşıyorsa, örneğin eksi 5 ile artı 10 arasında, yöntem bu aralığı da düzgün biçimde 0 ile 1'e yerleştirir.

Tek gerçek risk, sütundaki tüm değerlerin birbirine eşit olmasıdır. Bu durumda en büyük ile en küçük değer aynı olur, aralık genişliği sıfır çıkar ve bölme tanımsız kalır. Bu durumda ya ilgili kriter tablodan çıkarılmalı ya da paydaya küçük bir sabit sayı eklenmelidir. Ayrıca, tabloya sonradan çok uç bir seçenek eklenirse sütunun en küçüğü ya da en büyüğü değişir; bu durumda önceki tüm seçeneklerin normalize değerleri de yeniden hesaplanır, çünkü referans aralık kaymıştır.

Adımların formülleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Normalize edilmiş değer, bir seçeneğin o kriterde gözlenen en kötü ile en iyi arasında nerede durduğunu gösterir; başka bir şey söylemez. 1 değeri "mükemmel" değil "bu kümedeki en iyisi" demektir, 0 değeri "başarısız" değil "bu kümedeki en kötüsü" demektir. İki farklı analizdeki 0,70 değerleri karşılaştırılamaz, çünkü her analizin kendi aralığı kendi seçenek kümesinden kurulmuştur. Bu nedenle:

"Bu seçenek 0 puan aldı, demek ki hiçbir işe yaramıyor"

yerine:

"Bu seçenek, bu üç seçenek arasında bu kriterde en kötü konumda; başka bir seçenek kümesinde aynı ham değer farklı bir puan alabilirdi"

biçiminde yazmak doğrudur.

Yöntem kesin veri ister: her hücrede tek bir sayı. Bu sayı diğer üç normalizasyon yapı taşından farklı olarak sıfır ya da negatif de olabilir; yöntem yalnız aralığın sıfırdan farklı olmasını (sütundaki tüm değerlerin aynı olmamasını) şart koşar. DecisionMind'da bu yapı taşının bulanık, gri ya da sezgisel veri türlerinde ayrı bir uzantısı yoktur; her veri türü kendi ev sahibi yönteminin kendi normalizasyon adımını kullanır. Elinizde şunlar olmalı: satırlarda seçenekler, sütunlarda kriterler, her hücrede bir sayı ve her kriter için yön bilgisi. Yöntem ağırlık üretmez, ağırlık da istemez. En az iki seçenek gerekir; iki seçenekle aralık en dar haliyle kurulur, biri 0 diğeri 1 alır.

Veriniz kesinse, sıfır ya da negatif değer içeriyorsa ya da sonucu bu seçenek kümesinin aralığı içindeki konum olarak okumak istiyorsanız bu yöntem uygundur. TOPSIS, SAW ve birçok sıralama yönteminde varsayılan tercihlerden biridir, çünkü her iki ucu da tam olarak sabitler ve veri türüne dair en az kısıtlamayı taşır. Kullanılmaması gereken durum, seçenek kümesinin analiz sırasında ya da analizler arasında değişmesi beklendiğinde ortaya çıkar; yeni bir uç seçenek eklendiğinde tüm tablo yeniden ölçeklenir ve önceki seçeneklerin sırası bile değişebilir. Sütunda tüm değerler birbirine çok yakınsa da (aralık neredeyse sıfırsa) küçük ölçüm hataları normalize tabloda büyük farklar gibi görünebilir.

Veri sıfır veya negatif içeriyor → Min-Max Normalization

Seçenek kümesi analiz sırasında sabit, en iyiye göre oran isteniyor → Linear Max Normalization

Sonuç bir pay/oran olarak okunacak → Linear Sum Normalization

Değerler çok büyük ölçek farkı taşıyor → Logarithmic Normalization

Seçenek kümesine yeni aday eklenmesi bekleniyorsa → sıra tersinmesi riski raporda baştan belirtilmeli

Yöntemin en büyük üstünlüğü veri türüne karşı esnekliğidir. Çıkarma ve bölmeye dayandığı için sıfır ve negatif ham veriyle de çalışır; bu, Linear Max, Linear Sum ve Logarithmic normalizasyonların hiçbirinde mümkün değildir. Her iki ucu da tam olarak 0 ve 1'e sabitlediği için sütunun tüm aralığını kullanır, bu da tabloyu okuyan bir karar vericiye net bir görsel referans verir. Hesabı basittir, elle doğrulanabilir.

Zayıflığı, sonucun yalnız gözlenen seçenek kümesine göre anlamlı olmasıdır. Hwang ve Yoon'un (1981) kendi kitabında da işaret ettiği gibi, seçenek kümesi değişince aralık da değişir. Jahan ve Edwards (2015), normalizasyon biçiminin sıralama sonucunu ciddi ölçüde etkileyebileceğini, aralık tabanlı yöntemlerin de bu etkiye dahil olduğunu göstermiştir. Chakraborty ve Yeh (2009), aralık tabanlı normalizasyonun TOPSIS'te farklı normalizasyon biçimlerine kıyasla farklı sıra üretebildiğini simülasyonla göstermiştir. Sütundaki en kötü seçenek, ham farkı ne kadar küçük olursa olsun her zaman tam 0 puan alır; bu, gerçekte ondan yalnız biraz daha kötü olan bir seçeneği olduğundan çok daha zayıf gösterebilir.

En sık hata, normalize edilmiş 0 puanı mutlak bir başarısızlık gibi okumaktır; puan yalnız bu kümedeki en kötü konumu gösterir. İkinci hata, analiz bittikten sonra yeni bir seçenek eklemek ve önceki seçeneklerin puanlarının değişmesine şaşırmaktır; aralık yeniden kurulduğu için bu beklenen bir sonuçtur. Üçüncü hata, sütundaki tüm değerler birbirine eşitken yöntemi olduğu gibi çalıştırmaktır; aralık genişliği sıfır olduğunda bölme tanımsız kalır. Dördüncü hata, farklı analizlerden gelen min-max puanlarını doğrudan karşılaştırmaktır; her analizin aralığı kendi seçenek kümesinden kurulmuştur ve birbirine göre anlam taşımaz.

Temel ilke şudur:

Min-Max Normalization, bir seçeneği yalnız gözlenen kümenin en kötüsü ile en iyisi arasındaki konumuna göre ölçer; bu küme değiştiğinde aralık da, dolayısıyla tüm normalize tablo da yeniden kurulur.