NANSON (Nanson Yöntemi)

Nanson yöntemi de, medyan sıralama gibi, elde birden çok sıralama varken bunları tek bir sıraya indirger. Ancak yaptığı iş farklıdır: önce klasik bir puanlama (Borda puanı, seçeneğin her sıralamada kaç seçeneği geride bıraktığının toplamı) hesaplar, sonra bu puanın ortalamasının altında kalan seçenekleri tamamen eler ve geri kalanlarla puanlamayı baştan yapar. Bu, tek bir sayıya bakan yöntemlerden farklı olarak turlar hâlinde işleyen bir elemedir. Çıktısı, hangi turda elendiğine göre belirlenen bir sıradır; en son kalan seçenek birinci olur. Yöntem 1882'de matematikçi Edward J. Nanson tarafından önerilmiştir ve toplumsal seçim (oy birleştirme) literatüründe Borda puanlamasının bir eleme mantığıyla güçlendirilmiş biçimi olarak bilinir.

Klasik Borda puanlaması bütün seçenekleri tek bir turda puanlar ve en yüksek puanlıyı seçer; ama bu yöntemin bilinen bir zayıflığı vardır, çoğunluğun ikili karşılaştırmada tercih ettiği seçenek (Condorcet kazananı) Borda puanlamasında birinci çıkmayabilir. Nanson bu sorunu turlar hâlinde eleyerek çözmeye çalışır: bir seçenek ortalamanın altında kaldığı sürece elenir, ortalamanın üstündeki seçeneklerle yeniden hesap yapılır. Böylece Borda'nın basit puanlama mantığı korunurken, ortalamanın altında kalan "zayıf" seçenekler adım adım tasfiye edilir.

Bunun felsefi sonucu, Nanson'un bir tutarlılık arayışı taşımasıdır: yöntem, eğer bir Condorcet kazananı varsa (yani ikili karşılaştırmaların hepsini kazanan bir seçenek), bu seçeneği bulmayı hedefler. Bu, Nanson'u yalnızca konumları toplayan (Borda gibi) yöntemlerden ayırır; Nanson konumları toplar ama sonucu tek turda değil, aşamalı bir elemeyle teyit eder.

Yöntem tekrarlanan bir tur döngüsüyle ilerler.

Her turda, önce Borda puanı hesaplanır. Hayatta kalan seçenekler arasında, her sıralamadaki konumuna göre her seçeneğe bir puan verilir; bir sıralamada kaç seçeneği geride bıraktıysa o kadar puan alır. Bütün sıralamalardaki puanlar toplanır.

Sonra turun ortalama puanı bulunur. O turdaki bütün hayatta kalan seçeneklerin puanlarının ortalaması alınır.

Ortalamanın altında kalan bütün seçenekler elenir. Bir değil, ortalamanın altındaki bütün seçenekler aynı anda elenir; bu, Nanson'u yalnızca en kötüyü eleyen yöntemlerden ayıran bir ayrıntıdır.

Elenenler çıkarıldıktan sonra kalan seçeneklerle süreç baştan tekrarlanır. Puanlama, kalan seçenekler arasında yeniden yapılır, çünkü bir seçeneğin göreli konumu rakip sayısı azalınca değişebilir. Bu döngü, tek bir seçenek kalana ya da hiçbir seçenek ortalamanın altında kalmayana kadar sürer. İkinci durumda (kimse elenmiyorsa) kalan seçenekler arasında kalan puana göre bir sıra verilir.

Adımların formülleri ve ara tabloları DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Nanson'un raporladığı değer, bir seçeneğin kaç eleme turunu geçtiğini gösterir; yüksek değer, o seçeneğin daha geç turlara kadar hayatta kaldığı, dolayısıyla daha güçlü olduğu anlamına gelir. Bu değer bir yüzde değildir ve "seçeneğin ne kadar iyi olduğunun" doğrudan bir ölçüsü değildir, yalnızca eleme sırasını özetler. İki seçenek arasındaki tur farkı, aradaki puan farkının büyüklüğünü göstermez; bir seçenek son turda çok az bir farkla elenmiş olabilir.

Nanson'un sonucu, eğer veri kümesinde bütün ikili karşılaştırmaları kazanan bir seçenek (Condorcet kazananı) varsa, bu seçeneği verir. Ama böyle bir seçenek yoksa (kaynaklar arasında döngüsel bir tercih varsa), Nanson'un hangi seçeneği seçeceği eleme sırasına bağlıdır ve bu durumda sonucun tek başına "en doğru" seçenek olduğu iddia edilmemelidir.

Bu nedenle:

"Nanson yöntemi en iyi seçeneği buldu"

yerine

"Bu sıralamalar kümesinde eleme turlarını en son geçen seçenek şudur; bu, ikili karşılaştırmalarda çoğunluğun tercihiyle tutarlıdır"

biçiminde yazmak doğrudur.

Nanson kesin (crisp) bir sıra matrisiyle çalışır: satırlarda seçenekler, sütunlarda farklı sıralama kaynakları (uzmanlar, oylar ya da yöntemlerin çıktıları), her hücrede 1'den m'ye kadar bir tam sayı sıra konumu bulunur; 1 en iyi konumu gösterir. Her kaynağın bütün seçenekleri sıralamış olması gerekir. Yöntem ağırlık üretmez, ağırlık da istemez. DecisionMind'da bu temel yöntemle birlikte şu an ek bir üye bulunmuyor; en az iki seçenek ve iki ayrı sıralama kaynağı gerekir.

Elinizde birden çok sıralama varsa ve bunları birleştirirken, mümkünse ikili karşılaştırmaların çoğunluk kazananını (Condorcet kazananı) koruyan bir yöntem istiyorsanız Nanson uygundur. Kaynak sayısı çok azsa (iki kaynak gibi) eleme turlarının anlamı azalır, çünkü her turda çok az seçenek elenir ya da hiç elenmez. Kaynaklar arasında güçlü bir döngüsel çelişki varsa (Condorcet kazananı yoksa), Nanson'un vereceği sonuç eleme sırasına duyarlı hâle gelir ve bu duyarlılık raporda gösterilmelidir.

Birden çok sıralamayı birleştir, ikili çoğunluk kazananını koru → Nanson

Basit ortalama puanlama yeterli, eleme gerekmiyor → Borda / Ortalama Sıralama

Aykırı görüşe karşı en dayanıklı orta konumu bul → Medyan Sıralama

Her ikili karşılaştırmayı ayrı ayrı incele, en güçlü dolaylı yolu bul → Schulze

Nanson'un temel üstünlüğü, klasik Borda puanlamasının basitliğini korurken Condorcet kazananını (varsa) bulma garantisi eklemesidir. Eleme mantığı sezgiseldir: zayıf seçenekler adım adım devre dışı kalır ve her turda kalanlar arasında yeniden değerlendirme yapılır, bu da tek turlu yöntemlere göre daha güvenilir bir sonuç verir. Hesabı elle takip edilebilir, karmaşık bir optimizasyon gerektirmez.

Sınırlılıkları eleme mekanizmasından gelir. Birincisi, Condorcet kazananı yoksa (kaynaklar arasında döngüsel bir tercih varsa) yöntemin sonucu turların sırasına duyarlı hâle gelir. İkincisi, her turda ortalamanın altındaki bütün seçenekleri aynı anda elemek, ortalamaya çok yakın bir seçeneği erken safhada kaybettirebilir; bu seçenek belki bir sonraki turda öne çıkabilirdi. Üçüncüsü, pozisyonel yöntemlerin ve eleme temelli seçim kurallarının hesaplama ve manipülasyona karşı davranışı ayrı bir literatürde tartışılmıştır; bazı eleme temelli kurallarda kazananı belirlemenin hesaplama yükü klasik puanlamaya göre daha yüksektir (Bartholdi, Tovey ve Trick, 1989).

En sık hata, her turda yalnızca en kötü tek seçeneği elemektir; oysa Nanson ortalamanın altındaki bütün seçenekleri aynı anda eler, bu ayrıntı atlanırsa sonuç yanlış çıkar. İkinci hata, puanlamayı yalnızca ilk turda yapıp elenenleri çıkardıktan sonra puanları yeniden hesaplamamaktır; kalan seçeneklerin göreli puanı rakip sayısı azalınca değişir. Üçüncü hata, Nanson'un sonucunu "kesin doğru" saymaktır; Condorcet kazananı yoksa sonuç turların sırasına bağlıdır ve bu bağımlılık raporda belirtilmelidir. Dördüncü hata, eksik sıralama içeren bir kaynağı düzeltmeden hesaba katmaktır.

Temel ilke şudur:

Nanson, varsa ikili çoğunluk kazananını bulmak için Borda puanlamasını turlar hâlinde eler; böyle bir kazanan yoksa sonuç eleme sırasına bağlıdır ve bu bağımlılık rapor edilmelidir.