Güç Ortalaması (Power Mean)

Güç ortalaması, kendi başına tek bir toplulaştırma operatörü değil, bir aile üreten bir çatıdır. Kendi başına bağımsız bir karar yöntemi değildir; WAM, WGM ve WHM gibi ayrı ayrı tanıtılan operatörlerin aslında tek bir formülün özel durumları olduğunu gösteren bir yapı taşıdır. Formülde tek bir kuvvet parametresi (r) vardır; bu parametre değiştirildiğinde aynı kriter puanları ve ağırlıklarla tamamen farklı bir toplulaştırma sonucu elde edilir. Çıktısı, girdilerle aynı ölçekte tek bir sayıdır.

Güç ortalamasının klasik matematiksel temeli Hardy, Littlewood ve Pólya'nın 1934 tarihli "Inequalities" adlı kitabına dayanır. Bu kitap, kuvvet parametresi büyüdükçe ortalamanın da büyüdüğünü (tekdüzelik özelliğini) ve parametre sıfıra ya da artı-eksi sonsuza giderken ortalamanın hangi klasik ortalamaya dönüştüğünü kesin biçimde kanıtlamıştır. Bullen, Mitrinović ve Vasić'in 1988 tarihli kapsamlı çalışması bu eşitsizlikleri ağırlıklı biçimlere ve daha geniş bir sınıfa genişletmiştir.

Güç ortalamasının felsefesi, telafi derecesini tek bir kadranla ayarlamaktır. Kuvvet parametresi eksi bir alındığında sonuç harmonik ortalamaya (en cezalandırıcı uç), sıfıra yaklaştığında geometrik ortalamaya, bir alındığında aritmetik ortalamaya (tam telafi), ikiye çıkarıldığında karesel ortalamaya (yüksek uçlara daha duyarlı) dönüşür. Analist tek bir sayıyı, yani r'yi, seçerek "bu karar sorusunda kriterlerdeki zayıflığı ne kadar cezalandırmak istiyorum" sorusuna doğrudan cevap verir.

Bu, güç ortalamasını ailenin geri kalanından farklı bir konuma yerleştirir: WAM, WGM, WHM ayrı ayrı sabit birer telafi anlayışı sunarken güç ortalaması bu anlayışı sürekli bir çizgi üzerinde konumlandırır. Aynı üç kriter puanı, r değiştikçe küçükten büyüğe doğru artan bir dizi sonuç üretir; bu artış hiçbir zaman tersine dönmez, yani kuvvet arttıkça sonuç asla küçülmez.

Güç ortalaması üç girdi ister: kriter puanları, bir kuvvet parametresi (r) ve toplamı 1 olan ağırlıklar.

Birinci adım, kuvvet parametresini ve ağırlıkları seçmek. r'nin işaretine göre kriter puanlarının pozitif olma zorunluluğu değişir; negatif r değerlerinde puanların sıfırdan büyük olması gerekir. Ağırlıkların toplamının 1 olduğu kontrol edilir.

İkinci adım, r sıfırdan farklıyken ağırlıklı güç ortalamasını almak. Her kriter puanı r'inci kuvvete yükseltilir, bu değerlerin ağırlıklı ortalaması alınır, sonra bu ortalamanın 1/r'inci kökü alınır.

Üçüncü adım, r sıfıra giden özel durumu ele almak. r sıfıra yaklaştığında formül tanımsız hâle gelir; bu sınırda sonuç ağırlıklı geometrik ortalamaya eşittir ve sayısal kararlılık için logaritma üzerinden hesaplanır.

Dördüncü adım, tekdüzelik özelliğini kullanmak. r büyüdükçe sonuç asla küçülmez; bu özellik, farklı r değerleriyle elde edilen sonuçları bir zincir hâlinde sıralamaya ve aile içindeki klasik eşitsizlikleri (harmonik küçük eşittir geometrik küçük eşittir aritmetik) doğrulamaya yarar.

Adımın formülü, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Güç ortalamasının verdiği sayı, seçilen r değerine göre WAM, WGM ya da WHM'nin verdiği sayıyla aynı ya da onlara yakın çıkabilir; r = 1 alındığında tam olarak WAM'e, r sıfıra yaklaştığında WGM'e, r eksi bir alındığında WHM'e eşittir. Bu yüzden sonucun anlamı, hangi r değerinin seçildiğinden ayrı düşünülemez.

Bu sayının dikkat çekici özelliği, aynı veriyle farklı r değerlerinin üretebileceği sonuç aralığının genişliğidir. Kriter puanları birbirinden çok farklıysa (biri çok düşük, biri çok yüksekse) düşük r değerleri düşük puanı öne çıkararak sonucu küçük tutar, yüksek r değerleri ise yüksek puanı öne çıkararak sonucu büyütür. Aynı üç sayı, seçilen r'ye göre neredeyse iki katına varan bir farkla farklı sonuçlar verebilir.

Bu nedenle:

"Güç ortalaması puanı şu çıktı, bu tek doğru sonuçtur"

yerine:

"Bu puan, seçilen kuvvet parametresine (r) bağlıdır; farklı bir r seçimi aynı veriden belirgin biçimde farklı bir sonuç üretir ve bu seçim raporda gerekçelendirilmelidir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Güç ortalaması kesin (crisp) veriyle çalışır; negatif r değerleri kullanılacaksa kriter puanlarının sıfırdan büyük olması gerekir. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir bulanık, gri ya da sezgisel uzantısı yoktur; kesin sayılarla çalışır.

Elinizde şunlar olmalı: en az iki kriterin puanları, aynı ölçekte ve karşılaştırılabilir olmalı; kuvvet parametresi r için bir seçim; toplamı 1 olan ağırlıklar. r'nin seçimi veriden değil analistin telafi anlayışından gelir ve raporda belirtilmelidir. r = 1 seçilirse WAM'i, r sıfıra yaklaşırsa WGM'yi, r = -1 seçilirse WHM'i yeniden üretir; bu yüzden güç ortalaması bu üç yapı taşını da içeren en genel biçimdir.

Telafi derecesinin tek bir parametreyle ayarlanabilir olması isteniyorsa, ya da farklı telafi anlayışlarının (WAM, WGM, WHM) aynı veri üzerinde nasıl farklı sonuçlar verdiğini karşılaştırmak gerekiyorsa güç ortalaması uygun bir seçimdir. Duyarlılık analizinde, "sonuç r seçimine ne kadar bağlı" sorusunu doğrudan cevaplamak için doğal bir araçtır.

r'nin seçimini gerekçelendirecek bir bilgi yoksa ve karar vericiye tek bir sabit telafi anlayışı (örneğin her zaman tam telafi) yeterliyse doğrudan WAM kullanmak daha sade ve daha kolay anlatılır bir seçimdir. Kriterler arasında karşılıklı etkileşim (bir kriterin zayıflığının başka bir kriterin zayıflığıyla birleşmesi) yakalanmak isteniyorsa güç ortalaması bunu yapamaz; bunun için Bonferroni ya da Heronian ortalaması gerekir.

Telafi derecesi tek bir parametreyle ayarlanabilir olsun, duyarlılık analizi yapılsın isteniyor → Güç ortalaması

Sabit ve tam telafi yeterli, ek parametre gerekmiyor → WAM (r = 1'e eşdeğer)

Sıfıra yakın puanların cezalandırılması isteniyor → WGM (r sıfıra yaklaşırken eşdeğer)

En zayıf kriterin baskın olması isteniyor → WHM (r = -1'e eşdeğer)

Kriterler arasında karşılıklı etkileşim yakalanmak isteniyor → Bonferroni ya da Heronian ortalaması

Güç ortalamasının en önemli üstünlüğü birleştirici gücüdür: WAM, WGM ve WHM'yi ayrı ayrı öğrenmek yerine tek bir formülün özel durumları olarak görmeyi sağlar. Hardy, Littlewood ve Pólya'nın kanıtladığı tekdüzelik özelliği sayesinde, farklı r değerleriyle elde edilen sonuçlar arasında kesin bir sıralama garanti edilir; bu, duyarlılık analizini son derece güvenilir kılar. Bullen, Mitrinović ve Vasić'in gösterdiği gibi bu eşitsizlikler ağırlıklı durumlarda da korunur (Bullen, Mitrinović ve Vasić, 1988).

Güç ortalamasının zayıflığı, ek bir parametre (r) getirmesidir; bu parametrenin seçimi genellikle veriden değil analistin varsayımından gelir ve gerekçesiz bırakılırsa rapor keyfi görünür. Ayrıca r sıfıra yaklaşırken formül sayısal olarak kararsız hâle gelir ve dikkatli bir hesaplama biçimi (logaritma üzerinden) gerektirir. Son olarak, güç ortalaması Yager'in 2001'de tanımladığı "power average" (güç ortalaması operatörü) ile isim benzerliği yüzünden sıkça karıştırılır; oysa bu iki operatör tamamen farklı fikirlere dayanır ve birbirinin yerine kullanılamaz (Yager, 2001).

En sık görülen hata, güç ortalamasını Yager'in "power average" operatörüyle karıştırmaktır; ikisinin adı benzese de Yager'in operatöründe ağırlıklar veriler arasındaki desteğe (birbirine ne kadar yakın olduklarına) göre değişirken güç ortalamasında ağırlıklar sabittir ve yalnızca kuvvet parametresi r değişir. İkinci hata, r değerini hiçbir gerekçe sunmadan seçip raporlamaktır; farklı bir r seçimi aynı veriden belirgin biçimde farklı bir sonuç üretebilir. Üçüncü hata, r'yi negatif bir değere ayarlarken kriter puanları arasında sıfır olup olmadığını kontrol etmemektir; bu durumda sonuç tanımsız hâle gelir.

Temel ilke şudur:

Güç ortalamasının sonucu, seçilen kuvvet parametresinin bir fonksiyonudur; bu parametre gerekçelendirilmeden rapor edilen bir güç ortalaması sonucu eksik bir sonuçtur.