Sobol Duyarlılık İndeksleri (Sobol Variance-Based Sensitivity Analysis)

Bir karar sonucu (örneğin bir seçeneğin puanı) birden çok belirsiz etkenden (kriter ağırlıkları, uzman puanları) etkilenir. Sobol duyarlılık indeksleri, sonuçtaki toplam değişkenliği (varyansı) bu etkenlere pay eder: her etkenin tek başına ne kadar sorumlu olduğunu (birinci derece indeks) ve etkileşimleriyle birlikte toplamda ne kadar sorumlu olduğunu (toplam etki indeksi) hesaplar. Morris taramasından farkı, kaba bir sıralama değil, toplamı bire tamamlanan (etkileşim yoksa) kesin yüzdeler vermesidir. Sobol tarafından 1993'te tanıtılmış, Saltelli ve arkadaşları tarafından pratikte kullanılabilir tahmin yöntemleriyle geliştirilmiştir.

Sobol'ün arkasındaki fikir, belirsizliği bir pasta gibi düşünmektir: sonuçtaki toplam değişkenlik sabit bir büyüklüktür ve bu pasta etkenler arasında paylaştırılabilir. Bir etkenin payı büyükse, o etkeni daha iyi ölçmek ya da daha dikkatli belirlemek sonucu en çok değiştirecek olandır. Morris'ten farklı olarak burada eleme değil, tam bir muhasebe yapılır: her etkenin tek başına payı ve başka etkenlerle birlikte oluşturduğu ek pay ayrı ayrı hesaplanır. Felsefi sonucu şudur: yöntem hangi etkenin "önemli" olduğunu söylemekle kalmaz, o önemin ne kadarının etkenin kendisinden, ne kadarının başka etkenlerle etkileşiminden geldiğini de ayırır.

Yöntem üç adımda ilerler; hepsi karar modelinin çok sayıda rastgele girdiyle tekrar tekrar çalıştırılmasına dayanır.

Birinci adım, örnekleme. İncelenecek her etken için bir olasılık dağılımı belirlenir (örneğin kriter ağırlıkları için Dirichlet dağılımı, toplamı bir olacak biçimde rastgele ağırlık takımları üretir). Birbirinden bağımsız iki büyük örneklem kümesi (A ve B) çekilir.

İkinci adım, karışık örneklemler. Her etken için, A kümesinin o tek etkenini B kümesinden alarak yeni bir karışık örneklem kümesi kurulur. Böylece her etkenin "diğerleri sabitken tek başına değiştirilmiş" hâli oluşturulmuş olur. Karar modeli, A, B ve bütün karışık kümelerdeki her noktada çalıştırılır.

Üçüncü adım, iki indeks. A, B ve karışık kümelerin çıktıları karşılaştırılarak her etken için iki sayı hesaplanır: birinci derece indeks (o etkenin tek başına, diğerleriyle etkileşime girmeden açıkladığı varyans payı) ve toplam etki indeksi (o etkenin tek başına ve bütün etkileşimleriyle birlikte açıkladığı toplam pay). İkisi arasındaki fark, o etkenin başka etkenlerle etkileşiminden gelen payı gösterir.

Adımların formülleri (Jansen tahmin edicileri) DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Birinci derece indeks, bir etkeni tek başına iyice bilmenin sonuçtaki belirsizliği ne kadar azaltacağını gösterir; sıfıra yakınsa o etkeni tek başına netleştirmek işe yaramaz. Toplam etki indeksi, o etkenin hiç değiştirilmemesi (sabit tutulması) durumunda kaybolacak toplam varyans payını gösterir; sıfıra yakınsa o etken güvenle sabitlenebilir. İki indeks arasındaki fark büyükse, o etken başka etkenlerle güçlü biçimde etkileşim hâlindedir ve tek başına yorumlanamaz. Birinci derece indekslerin toplamı bire yakınsa etkenler birbirinden bağımsız çalışıyor demektir; toplam belirgin biçimde birden küçükse, aradaki fark etkileşimlerden gelir. Hiçbir indeks "bu etken sonucu şu yönde değiştirir" demez; yalnız değişkenlikteki payı gösterir. Bu nedenle:

"Sobol analizi C2 ağırlığının sonucu belirlediğini gösterdi"

yerine:

"C2 ağırlığındaki belirsizlik, toplam sonuç değişkenliğinin yaklaşık şu kadarından sorumludur; kalan pay diğer etkenlerden ve etkileşimlerden gelmektedir"

biçiminde yazmak doğrudur.

Sobol duyarlılık indeksleri kesin veriyle çalışır ve kendi başına bir karar tablosuna ihtiyaç duymaz; bir ev sahibi karar modeline ihtiyaç duyar. Girdi olarak her etken için bir olasılık dağılımı (kriter ağırlıkları için genelde Dirichlet), örneklem büyüklüğü (birkaç yüzün üzeri önerilir) ve etkenlerin birbirinden bağımsız olduğu varsayımı gerekir. DecisionMind'da bu yöntemin bir uzantısı yoktur; çok sayıda etken varsa önce Morris taramasıyla önemsiz etkenler elenir, kalanlar Sobol ile ayrıntılı incelenir.

Etkenlerin kesin katkı yüzdeleri gerekiyorsa, özellikle etkileşimlerin de ayrıştırılması isteniyorsa Sobol tam yerindedir. Ayrıca hangi etkeni daha iyi ölçmenin ya da netleştirmenin en çok fayda sağlayacağına karar vermek için de kullanılır.

Kullanılmaması gereken durumlar şunlardır. Etken sayısı çoksa (onlarca) ve hesaplama bütçesi kısıtlıysa Sobol yerine önce Morris taraması yapılıp etken sayısı azaltılmalıdır; Sobol'ün örneklem ihtiyacı etken sayısıyla birlikte hızla büyür. Etkenler birbirinden bağımsız değilse (biri değişince diğeri zorunlu olarak değişiyorsa) standart Sobol tahminleri yanıltıcı olabilir; bu durumda bağımlı etkenler için özel yöntemler gerekir. Yalnız sıralamanın bozulup bozulmadığı (kazananın değişip değişmediği) soruluyorsa, tam varyans ayrıştırması yerine ağırlık duyarlılık analizi daha basit ve yeterli bir araçtır.

Kesin katkı yüzdeleri ve etkileşim payları gerekiyor → Sobol duyarlılık indeksleri

Çok sayıda etken var, önce kaba eleme yapılacak → Morris tarama

Yalnız kazananın devrilip devrilmediği soruluyor → Ağırlık Duyarlılık Analizi

İki sıranın birbirine benzerliği ölçülüyor → Spearman Sıra Korelasyonu

Sobol'ün en büyük gücü, sonuçtaki belirsizliği eksiksiz bir muhasebeyle etkenlere pay etmesidir; birinci derece ve toplam etki indeksleri birlikte, hem tek başına önemi hem etkileşim payını gösterir. Etken dağılımları hakkında güçlü varsayımlar gerektirmez, herhangi bir olasılık dağılımıyla çalışabilir. Karar modelinin içine bakmaz, yalnız girdi çıktı ilişkisini örnekleyerek çalışır; bu yüzden herhangi bir ev sahibi yönteme (ağırlıklı toplam, TOPSIS, VIKOR) uygulanabilir.

Sınırlılıkları hesap yükünden ve varsayımlardan doğar. Güvenilir tahminler için gereken örneklem büyüklüğü, etken sayısıyla birlikte hızla büyür; yüzlerce örneklemin altında tahminler kararsızdır (Saltelli, Annoni, Azzini, Campolongo, Ratto ve Tarantola, 2010). Etkenlerin birbirinden bağımsız olduğu varsayılır; kriter ağırlıkları gibi toplamı sabit (bire tamamlanan) etkenlerde bu bağımsızlık tam sağlanamaz ve dolaylı yollarla (modelin içinde yeniden ölçeklenerek) ele alınması gerekir. Birinci derece indekslerin toplamı, güçlü etkileşim varsa birden belirgin biçimde küçük çıkar ve bu fark yalnız toplam etki indeksleriyle birlikte yorumlanabilir. Son olarak yöntem, sıralama gibi kesikli (ordinal) çıktılara doğrudan uygulanmaz; puan ya da başka sürekli bir çıktı üzerinden çalıştırılmalıdır.

En sık hata, örneklem büyüklüğünü çok küçük tutup (birkaç yüzün altında) indeksleri kesinmiş gibi raporlamaktır; küçük örneklemde indeksler yörüngeden yörüngeye belirgin biçimde değişir. İkinci hata, birinci derece indekslerin toplamının bire eşit olmasını beklemek ve eşit çıkmayınca hesabı hatalı sanmaktır; toplam birden küçükse bu etkileşimlerin varlığını gösterir, hata değildir. Üçüncü hata, Sobol'ü doğrudan bir sıralamaya (kazanan kim) uygulamaktır; Sobol sürekli bir çıktı (puan, endeks) ister, sıralama için beklenen sıra ya da benzer bir dönüştürülmüş çıktı kullanılmalıdır. Dördüncü hata, toplam etki indeksi büyük ama birinci derece indeksi küçük çıkan bir etkeni "önemsiz" diye elemektir; bu fark, etkenin tek başına değil etkileşim yoluyla önemli olduğunu gösterir.

Temel ilke şudur:

Sobol indeksleri, sonuçtaki belirsizliğin kaynağını yüzdelerle gösterir; küçük bir birinci derece pay, o etkenin önemsiz olduğu değil, etkisinin başka etkenlerle iç içe geçtiği anlamına gelebilir.