WGM (Ağırlıklı Geometrik Ortalama)

WGM, kriter puanlarını toplamak yerine çarpan bir toplulaştırma operatörüdür. Kendi başına bağımsız bir karar yöntemi değildir; AHP gibi öznel ağırlıklandırma yöntemlerinin ve grup kararlarının içinde çalışan bir yapı taşıdır. AHP'de birden çok uzmanın verdiği ikili karşılaştırma yargılarını tek bir grup yargısına indirmenin standart yolu WGM'dir; her uzmanın yargısı kendi ağırlığı kadar üsse çıkarılır ve bu değerler çarpılır. Aynı işlem, bir seçeneğin birden çok kriterdeki puanını tek bir sonuç puanına indirmek için de kullanılabilir. Çıktısı, girdilerle aynı ölçekte tek bir sayıdır.

WGM'in matematiksel temeli Aczél ve Saaty'nin 1983 tarihli çalışmasına dayanır. Bu çalışma, oransal (ratio-scale) yargıların tutarlı biçimde birleştirilmesinin tek yolunun geometrik ortalama olduğunu ispatlamıştır; aritmetik ortalama bu tutarlılığı sağlamaz. Bu sonuç, WGM'i AHP'nin grup kararı sentezinde fiilen zorunlu adım hâline getirmiştir.

WGM'in felsefesi kısmi telafidir ve bu telafi çarpımsaldır. Aritmetik ortalamada bir kriterdeki kayıp başka bir kriterdeki eşit büyüklükte kazançla tam olarak sıfırlanırken, WGM'de düşük bir puan çarpıma girdiği için sonucu orantılı biçimde aşağı çeker. Bir kriter puanı sıfıra yaklaştıkça WGM de sıfıra yaklaşır, diğer kriterler ne kadar yüksek olursa olsun. Bu, WGM'i "hiçbir kriterde tam çöküş kabul etmiyorum" diyen bir karar anlayışına yaklaştırır.

Bu özellik WGM'i WAM'in tam tersi bir uca yerleştirir. WAM bir kriterdeki zayıflığı diğerleriyle tam telafi ederken WGM bu telafiyi sınırlar ve zayıflığı orantılı biçimde cezalandırır. Aradaki fark, oran yargılarında (birinin diğerinden kaç kat iyi olduğu) çalışılıyorsa daha da belirginleşir; Aczél ve Saaty'nin gösterdiği gibi bu tür yargılarda tutarlı tek birleştirme yolu WGM'dir, WAM değildir.

WGM iki girdi ister: pozitif kriter puanları ve toplamı 1 olan ağırlıklar.

Birinci adım, ağırlıkları doğrulamak. Her ağırlığın negatif olmadığı ve toplamlarının 1'e eşit olduğu kontrol edilir; gerekirse ağırlıklar normalize edilir.

İkinci adım, ağırlıklı çarpımı almak. Her kriterin puanı kendi ağırlığı kadar üsse çıkarılır, sonra bu değerler birbiriyle çarpılır. Sayısal kararlılık için bu işlem genellikle logaritma alınıp toplanarak, sonra tekrar üstel alınarak hesaplanır; sonuç aynıdır.

Üçüncü adım, grup kararında kullanmak. Birden çok karar vericinin aynı ikili karşılaştırma matrisine verdiği yargılar varsa, her hücre kendi karar vericisinin ağırlığıyla WGM üzerinden birleştirilir ve tek bir grup matrisi elde edilir.

Adımın formülü, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

WGM'in verdiği sayı, kriterler arasında orantılı bir dengeyi yansıtır; bir kriterde çok düşük puan varsa bu düşüklük sonuca ağırlığı oranında değil, çarpımın doğası gereği daha sert biçimde yansır. Puan 4,0 çıktıysa bu, kriterlerin çarpımsal katkısının 4,0'a ulaştığı anlamına gelir; WAM'deki gibi basit bir toplam değildir.

WGM'in en belirgin özelliği sıfıra ya da sıfıra çok yakın bir puana karşı aşırı duyarlı olmasıdır. Kriterlerden biri 0 ya da 0'a çok yakınsa WGM sonucu da 0'a çöker, diğer kriterler ne kadar yüksek olursa olsun. Bu yüzden WGM'nin bir seçeneği düşük puanlaması, o seçeneğin "genel olarak kötü" olduğu anlamına gelmez; tek bir kriterdeki çöküşün büyütülmüş bir yansıması olabilir.

Bu nedenle:

"WGM puanı düşük çıktı, bu seçenek genel olarak zayıf"

yerine:

"WGM puanı düşük çıktı; bu, tek bir kriterdeki aşırı düşük değerin çarpım yoluyla büyütülmüş bir sonucu olabilir, hangi kriterin bu düşüşe yol açtığı ayrıca kontrol edilmelidir"

biçiminde yazmak doğrudur.

WGM kesin (crisp) ve pozitif veriyle çalışır; sıfır ya da negatif bir kriter puanı çarpımı tanımsız hâle getirir ya da anlamsızlaştırır. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir bulanık, gri ya da sezgisel uzantısı yoktur.

Elinizde şunlar olmalı: her seçenek için pozitif kriter puanları, aynı ölçekte ve karşılaştırılabilir olmalı; kriterlerin toplamı 1 olan ağırlıkları. WGM ağırlık üretmez, dışarıdan alır. En az iki kriter gerekir. WGM özellikle oransal yargılarla (biri diğerinden kaç kat daha iyi) çalışılan durumlarda, örneğin AHP'nin ikili karşılaştırma matrislerinde, matematiksel olarak WAM'den daha uygundur.

Kriter puanları oransal bir ölçekteyse (biri diğerinin kaç katı olduğu anlamlıysa), birden çok karar vericinin oransal yargılarını birleştirmek gerekiyorsa ya da bir kriterdeki aşırı düşüklüğün sonucu ciddi biçimde aşağı çekmesi isteniyorsa WGM uygun bir seçimdir. En yaygın kullanımı, AHP'de grup ikili karşılaştırma matrisi oluşturmaktır.

Kriter puanlarından biri sıfır olabiliyorsa ya da sıfıra çok yakınsa WGM kullanılmamalıdır; sonuç anlamsız biçimde sıfıra çöker. Tam telafi isteniyorsa, yani bir kriterdeki zayıflığın başka bir kriterle tam dengelenmesi bekleniyorsa WGM yerine WAM daha uygundur.

Oransal yargılar, grup kararı sentezi → WGM

Kriter puanlarından biri sıfır olabiliyor ya da olamaz → WAM (ya da sıfırı önce ele alan bir ön işlem)

Tam telafi isteniyor → WAM

Zayıflığın cezası WGM'den de sert olsun isteniyor → WHM

Ceza derecesi tek bir parametreyle ayarlanabilir olsun isteniyor → Güç ortalaması (Power Mean), r sıfıra yaklaştığında WGM'e eşdeğerdir

WGM'in en önemli üstünlüğü, oransal yargılarla matematiksel tutarlılığıdır. Aczél ve Saaty'nin ispatladığı gibi, oran ölçekli yargılar söz konusu olduğunda tutarlı birleştirmenin tek yolu geometrik ortalamadır; bu WGM'i keyfi bir tercih değil zorunlu bir sonuç yapar. Ayrıca WGM, bir kriterdeki aşırı zayıflığı gizlemez; WAM'in aksine zayıf noktayı sonuca görünür biçimde yansıtır. Bu özellik, Forman ve Peniwati'nin gösterdiği gibi, AHP'de grup kararlarının bireysel aşırılıklardan daha az etkilenmesini sağlar (Forman ve Peniwati, 1998).

WGM'in zayıflığı, sıfıra olan aşırı duyarlılığıdır. Kriter puanlarından biri sıfır ya da sıfıra çok yakınsa sonuç da sıfıra yaklaşır, diğer kriterler ne kadar yüksek olursa olsun; bu durum bazı uygulamalarda istenmeyen bir sertlik yaratır (Saaty ve Vargas, 2007). Ayrıca WGM'nin yorumlanması WAM'den daha zordur; çarpımsal bir sonucun "ne kadar iyi" olduğu, toplamsal bir sonuca göre daha az sezgiseldir ve karar vericiye anlatılması daha fazla çaba gerektirir. Son olarak, WGM de WAM gibi ağırlıkların kalitesine bağımlıdır; ağırlıklar dışarıdan gelir ve kötü belirlenmiş bir ağırlık kümesi sonucu doğrudan bozar.

En sık görülen hata, kriter puanları arasında sıfır ya da sıfıra çok yakın bir değer varken WGM kullanmaktır; bu durumda sonuç neredeyse otomatik olarak sıfıra çöker ve diğer kriterlerin bilgisi kaybolur. İkinci hata, WGM ile WAM sonuçlarını doğrudan karşılaştırıp "hangisi doğru" diye sormaktır; ikisi farklı varsayımlar taşır, biri doğru biri yanlış değildir, hangisinin karar sorusuna uyduğu önceden seçilmelidir. Üçüncü hata, WGM'i AHP dışında, aritmetik toplamın daha doğal olduğu bir bağlamda (örneğin doğrudan toplanabilir maliyet kalemlerinde) kullanmaktır.

Temel ilke şudur:

WGM, oransal yargıları birleştirmenin matematiksel olarak tutarlı yoludur; ama kriter puanlarından biri sıfıra yakınsa bu tutarlılık, sonucu aşırı sertleştirme pahasına gelir.