WHM (Ağırlıklı Harmonik Ortalama)

WHM, klasik istatistikte oranların (hız, verim, birim başına maliyet gibi) ortalamasını almanın doğru yoludur ve karar analizinde bir toplulaştırma yapı taşı olarak kullanılır. Kendi başına bağımsız bir karar yöntemi değildir; bir seçeneğin birden çok kriterdeki puanını, kriterlerden herhangi birindeki zayıflığı öne çıkaracak biçimde tek bir sayıya indirmek istendiğinde devreye girer. Çıktısı, girdilerle aynı ölçekte tek bir sayıdır.

WHM'in matematiksel temeli, klasik ortalamalar eşitsizliğine dayanır: pozitif sayılar için harmonik ortalama her zaman geometrik ortalamadan, geometrik ortalama da aritmetik ortalamadan küçük ya da ona eşittir. Bu sıralama, Bullen, Mitrinović ve Vasić'in 1988 tarihli kapsamlı çalışmasında ayrıntılı biçimde kanıtlanmıştır ve WHM'i güç ortalaması ailesinin p eksi bir olan özel durumu olarak tanımlar.

WHM'in felsefesi, aile içindeki en sınırlı telafi biçimidir. Aritmetik ortalamada bir kriterdeki kayıp başka bir kriterdeki eşit kazançla tam telafi edilirken, WHM'de düşük bir puan tersi alındığında büyüdüğü için ortalamayı orantısız biçimde aşağı çeker. Bir kriter puanı küçüldükçe onun tersi hızla büyür ve WHM sonucunu kendine doğru çeker; bu yüzden WHM, "en zayıf halkanın ağırlığını en çok hisseden" ortalamadır.

Bu özellik WHM'i WGM'den bile daha cezalandırıcı yapar. WGM bir kriterdeki zayıflığı çarpım yoluyla cezalandırırken WHM aynı zayıflığı tersini alarak daha da büyütür. Klasik ortalamalar eşitsizliği bu sırayı kesin biçimde belirler: aynı puanlarla WHM her zaman WGM'den küçük ya da ona eşit, WGM de WAM'den küçük ya da ona eşit çıkar. Bir kriterdeki zayıflığın sonucu neredeyse belirlemesi isteniyorsa, örneğin bir sistemin bütününün en zayıf bileşeni kadar güçlü olduğu kabul ediliyorsa WHM doğru araçtır.

WHM iki girdi ister: sıfırdan büyük kriter puanları ve toplamı 1 olan ağırlıklar.

Birinci adım, girdileri doğrulamak. Her kriter puanının sıfırdan büyük olduğu ve ağırlıkların toplamının 1'e eşit olduğu kontrol edilir. Sıfır ya da negatif bir puan, tersini almayı imkânsız ya da anlamsız kılar.

İkinci adım, tersleri ağırlıklı ortalamak. Her kriter puanının tersi (1 bölü puan) alınır, bu tersler kendi ağırlıklarıyla çarpılıp toplanır.

Üçüncü adım, sonucun tersini almak. İkinci adımda elde edilen toplamın tersi alınır; bu son sayı WHM sonucudur.

Dördüncü adım, güç ortalaması ailesindeki yerini görmek. WHM, güç ortalaması ailesinin r eksi bir olduğu özel durumudur; aynı puanlar farklı r değerleriyle işlense sonuç WHM ile WAM arasında bir yerde çıkar.

Adımın formülü, ara tabloları ve atıf biçimleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

WHM'in verdiği sayı, kriterler arasındaki en zayıf noktanın baskın olduğu bir toplam performansı gösterir. Puan 3,4 çıktıysa bu, kriterlerden en düşüğünün sonucu güçlü biçimde aşağı çektiği anlamına gelir; WAM'deki gibi kriterlerin ortalama katkısını değil, en kırılgan kriterin ağırlığını yansıtır.

WHM'in en belirgin özelliği, dengeli ama orta düzeyde puanlanan bir seçeneği, uçlarda gidip gelen (bir kriterde çok yüksek, başka bir kriterde çok düşük) bir seçeneğe göre daha avantajlı göstermesidir. Bu, WAM'in vereceği sonucun tam tersi olabilir; WAM uç puanları tam telafi ederken WHM bu uçluğu cezalandırır.

Bu nedenle:

"WHM puanı düşük çıktı, bu seçenek her kriterde zayıf"

yerine:

"WHM puanı düşük çıktı; bu, kriterlerden en zayıfının sonucu güçlü biçimde çektiğini gösterir, hangi kriterin bu düşüşe yol açtığı ayrıca incelenmelidir"

biçiminde yazmak doğrudur.

WHM kesin (crisp) ve kesinlikle pozitif veriyle çalışır; sıfır bir kriter puanı tersini almayı imkânsız kılar. DecisionMind'da bu yapı taşının ayrı bir bulanık, gri ya da sezgisel uzantısı yoktur.

Elinizde şunlar olmalı: her seçenek için sıfırdan büyük kriter puanları, aynı ölçekte ve karşılaştırılabilir olmalı; kriterlerin toplamı 1 olan ağırlıkları. WHM ağırlık üretmez, dışarıdan alır. En az iki kriter gerekir. WHM özellikle oran türü büyüklüklerin (hız, verim, birim maliyet) ortalamasının alınması gerektiği ya da bir sistemin en zayıf bileşeninin bütünü belirlediği kabul edildiği durumlarda uygundur.

Kriterler oran türü büyüklüklerse, bir kriterdeki zayıflığın sonucu güçlü biçimde etkilemesi isteniyorsa ya da "zincir en zayıf halkası kadar güçlüdür" anlayışı benimseniyorsa WHM uygun bir seçimdir. Tipik kullanımı, birim başına verimlilik ya da hız gibi oranların doğru biçimde ortalanmasıdır.

Kriter puanlarından biri sıfır olabiliyorsa WHM kullanılmamalıdır; sonuç tanımsız hâle gelir. Tam telafi isteniyorsa, yani bir kriterdeki zayıflığın başka bir kriterle dengelenmesi bekleniyorsa WHM yerine WAM daha uygundur; WHM'nin cezalandırıcılığı WGM'den de fazladır, bu yüzden orta düzeyde bir ceza yeterliyse WGM tercih edilmelidir.

Oran türü büyüklükler, "en zayıf halka belirler" anlayışı → WHM

Kriter puanlarından biri sıfır olabiliyor → WAM (ya da sıfırı önce ele alan bir ön işlem)

Tam telafi isteniyor → WAM

Orta düzeyde ceza yeterli, WHM'in sertliği fazla → WGM

Ceza derecesi tek bir parametreyle ayarlanabilir olsun isteniyor → Güç ortalaması (Power Mean), r eksi bir WHM'e eşdeğerdir

WHM'in en önemli üstünlüğü, oran türü büyüklükleri doğru biçimde ortalamasıdır; hız, verim ya da birim maliyet gibi büyüklüklerde aritmetik ortalama sistematik olarak yanlış sonuç verirken WHM doğru sonucu verir. Ayrıca WHM, bir sistemin ya da seçeneğin en zayıf noktasını gizlemez; tam tersine bu zayıflığı sonuca en güçlü biçimde yansıtır. Bu özellik, güvenlik ya da kalite gibi "en zayıf halka" mantığının geçerli olduğu alanlarda WHM'yi doğal bir seçim yapar.

WHM'in zayıflığı, aşırı cezalandırıcılığıdır. Kriter puanlarından biri sıfıra çok yaklaşırsa WHM sonucu da hızla küçülür, bu bazı uygulamalarda gerçekçi olmayan bir sertlik yaratabilir (Bullen, Mitrinović ve Vasić, 1988). Ayrıca WHM'in yorumlanması, toplamsal bir ortalamaya alışkın bir karar vericiye WGM'den bile daha zor gelir; "tersini alıp ortalayıp tekrar tersini almak" işlemi sezgisel değildir ve doğru anlatılmazsa yanlış okunur. Son olarak, WHM de ailenin diğer üyeleri gibi ağırlıkların kalitesine bağımlıdır; ağırlıklar dışarıdan gelir ve hatalı belirlenmiş bir ağırlık kümesi sonucu doğrudan bozar.

En sık görülen hata, kriter puanlarından biri sıfır ya da sıfıra çok yakınken WHM kullanmaktır; bu durumda sonuç anlamsız biçimde küçülür ya da tanımsız hâle gelir. İkinci hata, WHM sonucunu WAM sonucuyla aynı ölçekte, aynı anlamda okumaktır; iki yöntem aynı girdilerle çok farklı sayılar üretebilir ve bu fark bir hata değil, yöntemlerin farklı telafi anlayışlarının doğal sonucudur. Üçüncü hata, oran türü olmayan büyüklüklerde (örneğin doğrudan toplanabilen maliyet kalemlerinde) WHM kullanmaktır; bu durumda aritmetik ortalama daha doğru bir seçimdir.

Temel ilke şudur:

WHM, oran türü büyüklükleri doğru ortalar ve en zayıf kriteri gizlemez; ama bu sertlik, kriter puanlarından biri sıfıra yaklaştığında sonucu gerçekçi olmayan biçimde küçültebilir.