Z-Skor Normalizasyonu (Standartlaştırma)

Bazı karar problemlerinde önemli olan bir seçeneğin mutlak değeri değil, o değerin diğer seçeneklere göre ne kadar sıra dışı olduğudur. Z-skor normalizasyonu tam olarak bunu yapar: her sütunun ortalamasını ve standart sapmasını bulur, sonra her değerden ortalamayı çıkarıp standart sapmaya böler. Sonuçta ortalamanın üstündeki değerler pozitif, altındakiler negatif çıkar ve sıfıra yakın değerler "ortalama civarında" demektir. Bu işlem Zdzisław Hellwig tarafından 1968'de, ülkelerin gelişmişlik düzeyine göre sınıflandırılması için geliştirdiği taksonomik yöntemin standartlaştırma adımı olarak tanımlanmıştır; sonraki yıllarda TOPSIS ve benzeri birçok yöntemde alternatif bir normalizasyon seçeneği olarak kullanılmıştır.

Z-skor normalizasyonunun arkasındaki soru şudur: "Bu seçenek, diğerlerine göre ortalamanın ne kadar üstünde ya da altında?" Vektör ya da doğrusal en büyüğe bölme normalizasyonu bir değeri sütunun büyüklüğüne ya da en büyük değerine göre ölçeklerken, z-skor bir değeri sütunun merkezine (ortalama) ve yayılımına (standart sapma) göre ölçekler. Bu, istatistiksel bir bakış açısıdır: her seçenek, kendi grubunun dağılımı içinde nerede durduğuna göre değerlendirilir. Bu yaklaşımın bir sonucu, normalize edilmiş değerlerin negatif olabilmesidir; bu diğer normalizasyon biçimlerinden farklı bir özelliktir ve sonraki adımın (ağırlıklama, toplama) negatif sayılarla uyumlu olmasını gerektirir.

İşlem tek adımda, ama iki alt hesapla ilerler.

Birinci adım, ortalama ve standart sapmayı bulma. Her ölçüt sütunu için değerlerin ortalaması ve standart sapması hesaplanır. DecisionMind bu hesapta popülasyon standart sapmasını (bölen: seçenek sayısı) kullanır; örneklem standart sapması (bölen: seçenek sayısı eksi bir) küçük seçenek kümelerinde farklı bir sayı verir.

İkinci adım, ölçekleme ve yön düzeltmesi. "Çoğu iyi" bir ölçütte değerden ortalama çıkarılıp standart sapmaya bölünür; büyük değer büyük z-skor alır. "Azı iyi" bir ölçütte bu işlem ters çevrilir, ortalamadan değer çıkarılır; böylece küçük ham değer büyük (iyi) z-skor alır. Bu, z-skor normalizasyonunu vektör normalizasyonundan ayıran ikinci fark: yön düzeltmesi normalizasyon adımının içinde yapılır, sonraki adıma bırakılmaz.

Adımların formülleri DecisionMind'daki yöntem sayfasında verilir; bu kart formül taşımaz.

Z-skor, bir seçeneğin o ölçütte ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler. Sıfır "ortalama kadar", pozitif "ortalamanın üstünde", negatif "ortalamanın altında" demektir; ama "iki kat daha iyi" ya da "yüzde 50 daha kötü" gibi bir orana çevrilemez. Değerin büyüklüğü, o sütundaki dağılımın darlığına bağlıdır: dar bir dağılımda küçük bir ham fark bile büyük bir z-skor farkına dönüşebilir, geniş bir dağılımda büyük bir ham fark küçük bir z-skor farkı verir. Z-skor tablosu başka bir seçenek kümesiyle karşılaştırılamaz, çünkü ortalama ve standart sapma o kümenin kendi değerlerinden hesaplanır.

Bu nedenle:

"Z-skoru 1,22, yani bu seçenek yüzde 22 daha iyi"

yerine:

"Bu seçenek, bu grubun ortalamasından yaklaşık 1,22 standart sapma daha iyi konumdadır; bu oran değil, göreli bir konum ölçüsüdür"

biçiminde yazmak doğrudur.

Kesin (crisp) veriyle çalışır: her hücrede tek bir sayı, boş hücre yok. En az iki seçenek gerekir, çünkü standart sapma tek bir değerden hesaplanamaz; iki seçenekli bir tabloda standart sapma her zaman aynı mutlak farkı verir ve z-skorlar yalnız +1/-1 gibi simetrik bir çift olur. Bir sütunun tüm değerleri eşitse standart sapma sıfır çıkar ve bölme tanımsız hale gelir.

Bu bir yapı taşı kartıdır; DecisionMind'da kendi başına bir uzantısı (bulanık, gri, sezgisel sürümü) yoktur. Aynı işi farklı mantıkla yapan beş normalizasyon seçeneği daha vardır: vektör normalizasyonu (iki ayrı kayıtla), doğrusal en büyüğe bölme, doğrusal toplama bölme ve logaritmik normalizasyon; her biri ayrı bir yapı taşı kartında anlatılır. Popülasyon mu örneklem mi standart sapma kullanıldığı küçük seçenek kümelerinde (üç ile beş seçenek) sonucu görünür biçimde değiştirir; DecisionMind popülasyon standart sapmasını sabit tutar ve raporda bildirir.

Z-skor normalizasyonu, önemli olanın bir seçeneğin mutlak değeri değil grubun ortalamasına göre göreli konumu olduğu durumlarda uygundur; özellikle ölçütler arasında dağılımın genişliği çok farklıysa (bir ölçütte değerler birbirine yakın, diğerinde çok yayılmışsa) z-skor bu farkı otomatik olarak dengeler. Ayrıca "azı iyi" ölçütlerin yönünü normalizasyon adımının kendi içinde çözer.

Kullanılmaması gereken durum, seçenek sayısının çok küçük (iki-üç) olduğu ve standart sapmanın anlamlı bir dağılım temsil etmediği durumdur; böyle durumlarda z-skor aşırı duyarlı sonuçlar verebilir. Ayrıca karar vericinin normalize değeri "en iyi 1,0 alsın" gibi sezgisel bir referansla okumak istediği durumlarda z-skorun negatif ve sınırsız aralığı kafa karıştırıcıdır.

Ölçütler arası dağılım genişliği çok farklı, göreli konum önemli → Z-skor normalizasyonu

"En iyi seçenek 1,0 alsın" biçiminde sezgisel okuma isteniyor → Doğrusal en büyüğe bölme normalizasyonu

Öklid uzaklığına dayanan bir yönteme (TOPSIS) veri hazırlanıyor → Vektör normalizasyonu

Seçenek sayısı çok küçük (iki-üç) → Standart sapmaya dayanmayan bir normalizasyon tercih edilmeli

Z-skor normalizasyonunun en önemli üstünlüğü, ölçütler arasındaki dağılım genişliği farkını otomatik olarak dengelemesidir; dar dağılımlı bir ölçütteki küçük bir fark da, geniş dağılımlı bir ölçütteki büyük bir fark da aynı istatistiksel dile (standart sapma birimine) çevrilir. Yön düzeltmesini kendi içinde yaptığı için "azı iyi" ölçütlerde ayrı bir işlem gerektirmez. İstatistikte yaygın ve tanıdık bir kavrama (standartlaştırma) dayandığı için ekip içi iletişimi kolaylaştırır.

Sınırlılıkları vardır. Birincisi, negatif değerler üretir; toplama ve ağırlıklama adımlarının bunu doğru işlemesi gerekir, aksi halde yorum hatası oluşur. İkincisi, küçük seçenek kümelerinde standart sapma kararsızdır, tek bir uç seçenek eklenip çıkarılması tüm z-skorları önemli ölçüde değiştirir. Üçüncüsü, hangi standart sapmanın (popülasyon mu örneklem mi) kullanıldığı belirtilmezse sonuçlar başka bir hesaplamayla karşılaştırılamaz hale gelir. Dördüncüsü, normalizasyon biçiminin seçimi (z-skor mu vektör mü) nihai sıralamayı değiştirebilir (Jahan ve Edwards, 2015; Milani ve ark., 2005).

En yaygın hata, z-skoru bir yüzde ya da oran gibi okumaktır; z-skor yalnız ortalamaya göre standart sapma cinsinden bir uzaklıktır. İkinci hata, popülasyon ve örneklem standart sapmasını karıştırıp hangisinin kullanıldığını raporda belirtmemektir; küçük kümede bu ikisi görünür biçimde farklı sayı verir. Üçüncü hata, "azı iyi" ölçütte yön düzeltmesini normalizasyon adımında hem yapıp hem sonraki adımda tekrar yapmaktır; bu, ölçütün yönünü iki kez çevirip yanlış tarafa götürür. Dördüncü hata, iki ya da üç seçenekli küçük bir kümede z-skor kullanıp sonuçların kararlı olduğunu varsaymaktır.

Temel ilke şudur:

Z-skor bir seçeneği grubun ortalamasına göre konumlandırır, mutlak bir kalite ölçüsü vermez; hangi standart sapmanın kullanıldığı ve seçenek sayısının bu ölçüyü ne kadar kararlı kıldığı raporda açıkça belirtilmelidir.